DISEQUAZIONI

Nozioni preliminari

Ricordiamo che il simbolo $>$ significa maggiore di e il simbolo $<$ significa minore di. Una diseguaglianza è una espressione del tipo $a>b$. Per capire meglio basti pensare alla rappresentazione dei numeri su una retta orientata verso destra: questi numeri si presentano in ordine di valore crescente da sinistra verso destra.

Definizione metodo geometrico: Siano a e b due qualsiasi numeri reali rappresentati mediante punti di una retta orientata verso destra. Allora $a>b$ se, e soltanto se, il punto che rappresenta il numero a giace a destra di quello che rappresenta il numero b.

Definizione metodo algebrico: Siano a e b due numeri reali qualsiasi. Allora $a>b$ se, e soltanto se, $a-b$ è un numero positivo.
Così, se $a=-2$ e $b=-3$, poichè $a-b=-2-(-3)=1$ è un numero positivo, per la nostra definizione si ritrova $-2>-3$
I simboli $>$ e $<$ indicano disuguaglianze in senso stretto. Nella teoria delle disuguaglianze, però, si devono considerare altre relazioni che si chiamano disuguaglianze in senso lato, $\ge$, $\le$ e si usano per affermare che due numeri o sono uguali o tra loro può esserci una relazione di disuguaglianza.

Proprietà delle disuguaglianze

• Sommando o sottraendo uno stesso numero ad entrambi i membri di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso.
  
  

  $12 > 8$   implica   $12 + 4 > 8 + 4$	$(16>12)$
  $12>8 $   implica   $ 12-4>8-4$	$(8>4)$

• Moltiplicando o dividendo per uno stesso numero positivo entrambi i membri di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso.
  
  

  $12>8 $   implica   $ 12 \cdot 3>8 \cdot 3$	$(36>24)$
  $12>8 $   implica   $ 12:2 > 8:2$	$(6>4)$
  $-5<3 $   implica   $ (-5) \cdot 4<3 \cdot 4$	$(-20<12)$
  $-24<8 $   implica   $ (-24):4<8:4$	$(-6<2)$
  $-9<-4 $   implica   $ (-9) \cdot 2<(-4) \cdot 2$	$(-18<8)$
  $-9<-6 $   implica   $ (-9):3<(-6):3$	$(-3<-2)$

• Moltiplicando o dividendo per uno stesso numero negativo entrambi i membri di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza di verso opposto.
  
  

  $12 > 8 $   implica   $ 12 \cdot (-3) <8 \cdot (-3)$	$(-36<-24)$
  $12 > 8 $   implica   $ 12 : (-2) < 8 : (-2)$	$(-6<-4)$
  $-5<3 $   implica   $ (-5) \cdot (-4)>3 \cdot (-4)$	$(20>-12)$
  $-24<8 $   implica   $ (-24) : (-4)>8 : (-4)$	$(-6<2)$
  $-9<-4 $   implica   $ (-9) \cdot (-2)>(-4) \cdot (-2)$	$(18>8)$
  $-9<-6 $   implica   $ (-9) : (-3)>(-6) : (-3)$	$(3>2)$

• La disuguaglianza tra due numeri concordi è di verso opposto a quello della disuguaglianza tra i loro reciproci.
  
  

  $2<10 $   implica   $ \frac{1}{2}>\frac{1}{10}$

  $-4>-5 $   implica   $ -\frac{1}{4}<-\frac{1}{5}$

Introduzione alle disequazioni

Definizione: Una disuguaglianza tra due espressioni è una disequazione se contiene una o più lettere, dette incognite.
Possiamo dire che una disequazione è:

• Numerica se in essa figura solo la lettera che rappresenta l'incognita.
• Letterale se in essa figurano, oltre all'incognita, uno o più parametri.

Diremo inoltre che una disequazione è:

• Frazionaria se l'incognita compare al denominatore di qualche frazione.
• Intera in caso contrario.

Definizione: Il dominio di una disequazione è l'insieme dei numeri reali che, sostituiti all'incognita, trasformano la disequazione in una disuguaglianza dotta di significato, cioè o vera o falsa.

Definizione: Un numero è soluzione di una disequazione se, sostituito all'incognita, trasforma la disequazione in una disuguaglianza vera.

Risolvere una disequazione significa determinare i valori dell'incognita per i quali la disequazione si trasforma in una disuguaglianza vera: tali valori formano l'insieme delle soluzioni.
Contrariamente a quanto avviene per le equazioni, l'insieme delle soluzioni di una disequazione è costituito, in genere, da infiniti numeri.
Per rappresentare l'insieme delle soluzioni di molte disequazioni si usano gli intervalli; essi sono insiemi di numeri reali la cui rappresentazione, sulla retta reale, è costituita da segmenti o semirette o dall'intera retta reale. Si distinguono intervalli limitati, rappresentati da segmenti, e intervalli illimitati, rappresentati da semirette o dall'intera retta reale.

Intervalli illimitati: definizione

$(a;b)$ è un intervallo aperto di estremi $a$ e $b$: cioè l'insieme dei numeri reali maggiori di $a$ e minori di $b$. Gli estremi $a$ e $b$ non appartengono all'intervallo.

$[a;b]$ è un intervallo chiuso di estremi $a$ e $b$: cioè l'insieme dei numeri reali maggiori o uguali ad a e minori o uguali a b. Gli estremi a e b appartengono all'intervallo.

$(a,b]$ è un intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra, di estremi a e b: cioè l'insieme dei numeri reali maggiori di a e minori o uguali a b. L'estremo a non appartiene all'intervallo mentre b vi appartiene.

$[a,b)$ è un intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra di estremi a e b: cioè l'insieme dei numeri reali maggiori o uguali ad a e minori di b.

La parentesi quadra indica che l'estremo appartiene all'intervallo.

La parentesi tonda indica che l'estremo non appartiene all'intervallo.

Intervalli illimitati: definizione

$(a;+\infty)$ è un intervallo illimitato a destra e aperto a sinistra: cioè l'insieme dei numeri reali maggiori di a.

$[a;+\infty)$ è un intervallo illimitato a destra e chiuso a sinistra: cioè l'insieme dei numeri reali maggiori o uguali ad a.

$(-\infty,a)$ è un intervallo illimitato a sinistra e aperto a destra: cioè l'insieme dei numeri reali minori di a.

$(-\infty,a]$ è un intervallo illimitato a sinistra e chiuso a destra: cioè l'insieme dei numeri reali minori o uguali ad a.

$(-\infty,+\infty)$ è un intervallo illimitato sia a sinistra sia a destra: cioè l'insieme $\mathbb{R}$ dei numeri reali.

Principi di equivalenza delle disequazioni

Due disequazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Primo principio di equivalenza: se a entrambi i membri di una disequazione si somma o si sottrae uno stesso numero o una stessa espressione algebrica, sempre definita del dominio della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente alla disequazione data.

Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero positivo, si ottiene una disequazione equivalente alla disequazione data.

Terzo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero negativo e cambiando il verso del simbolo di disuguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente alla disequazione data.

Conseguenza dei principi di equivalenza

Regola 1: se entrambi i membri di una disequazione sono polinomi, è possibile trasportare un termine da un membro all'altro, purchè gli si cambi il segno.

$x^2 + 3x > x + 1 $   implica   $ x^2 + 3x - 3x > x + 1 - 3x $   implica   $ x^2 > x + 1 - 3x$

Regola 2: se entrambi i membri di una disequazione sono polinomi e uno stesso termine figura in entrambi i membri, questo può essere eliminato.

$4 + 3x^2 + 7x > 20 + 7x $   implica   $ 4 + 3x^2 + 7x - 7x > 20 + 7x - 7x $   implica   $ 4 + 3x ^2 > 20$

Regola 3: se in entrambi i membri di una disequazione compare uno stesso fattore numerico positivo, questo può essere eliminato. Questo corrisponde a dividere entrambi i membri per uno stesso numero, secondo principio.

$3(x-5)<3(x^2-2x) $   implica   $ x-5 < x^2-2x$

Regola 4: se in una disequazione intera compaiono frazioni o termini con coefficienti frazionari, è possibile, dopo aver espresso entrambi i membri come frazioni aventi uno stesso denominatore positivo, eliminare i denominatori.

$\frac{1}{3} + \frac{2}{5}x > x^2 - \frac{1}{10}x $   implica   $ \frac{10+12x}{30} > \frac{30x^2-3x}{30} $   implica   $ 10 + 12x > 30x^2 - 3x$

Regola 5: si può cambiare il segno di entrambi i membri di una disequazione, pur di cambiare il verso del simbolo di disuguaglianza. Ciò equivale a moltiplicare per -1 entrambi i membri, terzo principio.

$ -x+3<-x^2 $   implica   $ x-3>x^2$

Regola 6: se in entrambi i membri di una disequazione compare uno stesso fattore numerico comune negativo, questo può essere eliminato purchè si cambi il verso del simbolo di disuguaglianza.

$\ -2(x+1)>-4 $   implica   $ x+1<2$

Regola 7: si possono scambiare tra loro i due membri di una disequazione, pur di cambiare il verso del simbolo di disuguaglianza.

$x-2>7 $   implica   $ -x+2<-7$

Definizione: data una disequazione nell'incognita $x$, il grado della disequazione è il grado più alto, rispetto la lettera $x$, del polinomio $P(x)$.

Disequazioni di primo grado

Procedimento risolutivo

Per risolvere una disequazione numerica nell'incognita $x$ si opera nel modo seguente:

1. Si svolgono gli eventuali prodotti indicati e si libera la disequazione dai denominatori, se presenti.
2. Si trasportano tutti i monomi contenenti l'incognita al primo membro, tutte le costanti al secondo membro e si riducono gli eventuali termini simili.
3. A questo punto, supponiamo che la disequazione sia ridotta a una delle seguenti forme:

$ax > b,\; ax < b,\; ax \ge b,\; ax \le b$

Dobbiamo distingure due casi:

• se $a\ne 0$, si dividono entrambi i membri della disequazione per a, ricordando che, se a è negativo, si deve cambiare il verso del simbolo di disuguaglianza.
• se $a = 0$, il primo membro è $0\cdot x$ e perciò, qualunque numero si sostituisca a $x$, il primo membro assume valore 0. La disequazione si riduce quindi a una disuguaglianza.
  • se tale disuguaglianza è vera, la disequazione è soddisfatta da qualunque valore dell'incognita: l'insieme $S$ delle soluzioni coincide con l'insieme dei numeri reali $S = \mathbb{R}$.
  • se tale disuguaglianza è falsa, la disequazione non è verificata per alcun valore dell'incognita ed è quindi impossibile: l'insieme $S$ delle soluzioni è l'insieme vuoto $S = \emptyset$

Riassunto:

Per risolvere $ax>b$ dobbiamo considerare i seguenti casi: $$ \left\{ \begin{array}{ll} \hbox{ se }a>0 & \hbox{ allora } x > \frac{b}{a} \hbox{ e quindi } S=(\frac{b}{a}; +\infty)\\ \hbox{ se }a<0 & \hbox{ allora } x < \frac{b}{a} \hbox{ e quindi } S=(-\infty; \frac{b}{a})\\ \hbox{ se }a=0 & \hbox{ allora } 0x < b \hbox{ implica } \left\{\begin{array}{ll} S=\mathbb{R} & \hbox{ se } b<0\\ S=\emptyset & \hbox{ se } b \geq 0 \end{array} \right. \end{array} \right. $$

Disequazioni frazionarie

Una disequazione è frazionaria se l'incognita compare al denominatore di almeno una frazione. È frazionaria la disequazione: $\frac{x-9}{6-2x}\le \frac{6}{3-x}$
Applicando il primo principio di equivalenza e le sue conseguenze, è possibile trasportare tutti i termini al primo membro, in modo che al secondo membro compaia solo 0; poi, svolgendo i calcoli indicati nel primo membro, è possibile che questo si riduca a un'unica frazione algebrica $\frac{N(x)}{D(x)}$. La disequazione frazionaria è stata così ridotta a forma canonica o normale.
Definizione: una disequazione frazionaria è in forma canonica o normale se il primo membro è costituito da una sola frazione algebrica e il secondo membro è zero.

Procedimento risolutivo:

Per risolvere una disequazione numerica fratta nell'incognita x si opera nel modo seguente:

1. se il secondo membro della disequazione non è 0, si trasportano tutti i termini al primo membro, in modo che al secondo membro compaia solo 0.
2. si scrive il primo membro come un'unica frazione (forma canonica) e si pongono le condizioni di accettabilità (C.A.) imponendo cioè che il denominatore sia diverso da 0.
3. si determina il segno della frazione che figura al primo membro, cioè
   • si studiano il segno del numeratore e quello del denominatore
   • si disegna uno schema grafico che riassuma, al variare di $x$, i segni dei due polinomi
   • dall'osservazione dello schema si deduce, mediante la regola dei segni, il segno della frazione.
4. Tenendo conto dei risultati ottenuti e delle eventuali C.A. si deduce l'insieme $S$ delle soluzioni della disequazione data.

Esempio:
$\frac{x-9}{6-2x} \le 1 - \frac{6}{3-x} $   implica   $ \frac{x-9}{2(3-x)}-1+\frac{6}{3-x} \le 0 $   implica   $ \frac{3(x-1)}{2(3-x)}$
da cui moltiplicando entrambi i membri per $\frac{2}{3}$, otteniamo la disequazione equivalente $\frac{x-1}{3-x} \le 0$
Determinare ora le condizioni di accettabilità: $3-x \not=0 $   implica   $ -x \ne -3 $   implica   $ x \ne 3$
Per risolvere la disequazione bisogna studiare il segno del numeratore e del denominatore.
Studiare il segno del numeratore significa stabilire per quali valori di $x$ il numeratore $N=x-1$ è positivo, per quali valori è nullo e per quali valori è negativo:

$N > 0 $   implica   $ x > 1$

$N = 0 $   implica   $ x = 1$

$N < 0 $   implica   $ x < 1$

Studiare il segno del denominatore $D=3-x $   implica   $ x = 3$

Ora rappresentare in un unico grafico i numeratore e il denominatore, guardare il verso della nostra disequazione che stiamo studiando e in base a quello scegliere il segno positivo se è maggiore oppure il segno negativo se minore.

Dal nostro esempio, in cui la disequazione è minore, si prende il segno negativo e la soluzione dell'equazione è $(- \infty, 1] \cup (3, + \infty)$.

$D > 0 $   implica   $ x < 3$

$D = 0$   implica   $ x=3$

$D < 0 $   implica   $ x > 3$

Disequazioni di secondo grado

Le disequazioni di secondo grado, ridotte a forma canonica, hanno al primo membro un polinomio di secondo grado nell'incognita $x$, mentre il secondo membro è zero. Esse perciò si presentano in una delle seguenti forme:

$ax^2 + bx + c > 0$	$ax^2 + bx + c < 0$
$ax^2 + bx + c \ge 0$	$ax^2 + bx + c \le 0$

Disequazioni di secondo grado
Primo coeff.	Discr.	Grafico di $y=ax^{2}+bx+c$	$ax^{2}+bx+c>0$	$ax^{2}+bx+c\ge 0$	$ax^{2}+bx+c >0$	$ax^{2}+bx+c\le 0$
$a>0$	$\Delta > 0$		$x < x_{1} \vee x > x_{2}$	$x\le x_{1} \vee x\ge x_{2}$	$x_{1} < x < x_{2}$	$x_{1} \le x \le x_{2}$
	$\Delta = 0$		$x\ne =x_{1} =x_{2}$	Qualunque valore di $x$	Nessun valore di $x$	$x = x_{1} = x_{2}$
	$Delta < 0$		Qualunque valore di $x$	Qualunque valore di $x$	Nessun valore di $x$	Nessun valore di $x$

Tabella riassuntiva:			$ax^{2}+bx+c>0$ $ax^{2}+bx+c<0$	$ax^{2}+bx+c\ge 0$ $ax^{2}+bx+c\le 0$
$\Delta >0$	$a>0$; $1^\circ$ membro $>0$ $a<0$; $1^\circ$ membro $<0$	concordi	$ x < x_{1} \vee x > x_{2}$	$x\le x_{1} \vee x\ge x_{2}$
	$a>0$; $1^\circ$ membro $<0$ $a<0$; $1^\circ$ membro $>0$	discordi	$x_{1} < x < x_{2}$	$x_{1} \le x \le x_{2}$
$\Delta=0$	$a>0$; $1^\circ$ membro $${>0}$$ $a<0$; $1^\circ$ membro $<0$	concordi	$x\ne x_{1} =x_{2}$	$\forall x \in \mathbb{R}$
	$a>0$; $1^\circ$ membro $<0$ $a<0$; $1^\circ$ membro $>0$	discordi	Nessun valore di $x$	$x = x_{1} = x_{2}$
$\Delta<0$	$a>0$; $1^\circ$ membro $>0$ $a<0$; $1^\circ$ membro $<0$	concordi	$\forall x \in \mathbb{R}$	$\forall x \in \mathbb{R}$
	$a>0$; $1^\circ$ membro $<0$ $a<0$; $1^\circ$ membro $>0$	discordi	Nessun valore di $x$	Nessun valore di $x$

Esempio:

Consideriamo la disequazione $x^{2}-3x+2>0 $. Il discriminante del trinomio è $\Delta = 1>0$. L'equazione associata è $x^{2}-3x+2=0$. Risolvendola troviamo le due soluzioni: $x_{1} = 1, x_{2} = 2$ Siamo nel caso della prima riga della tabella: $\Delta > 0$ e a concorde con il verso del simbolo di disuguaglianza; quindi le soluzioni sono espresse dalla condizione $x < x_{1} \vee x > x_{2}$ ossia, nel nostro caso, i valori esterni $x < 1 \vee x > 2$, cioè $S=(-\infty ; 1)\; \cup\; (2;+\infty)$.