Proporzioni e percentuali

Definizione di proporzione

Una proporzione è un'uguaglianza fra due rapporti, pertanto si scrive come

a :b = c : d

Si legge “ a sta a b come c sta a d ”. Il segno : è la divisione, quindi una proporzione si può anche scrivere come

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d}. \]

I termini a e d si dicono estremi, i termini b e c si dicono medi.

Inoltre i termini a e c si dicono antecedenti, mentre b e d si dicono conseguenti.

Affinché la proporzione abbia un senso, deve risultare b, d ≠0 .

Proprietà fondamentale. In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Se a :b = c : d allora a ⋅d = b ⋅c

Risolvere una proporzione

Il quarto proporzionale è il quarto elemento di una proporzione e si ricava nel seguente modo (in questo caso lo indichiamo con una x):

\[ a:b = c:x \quad \Rightarrow \quad x=\frac{b \cdot c}{a}. \]

Questo risultato si ottiene dalla definizione stessa di proporzione.

In generale se l’elemento incognito è un medio occorre moltiplicare gli estremi e dividere per l’altro medio.

Viceversa se l’incognita è un estremo si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo.

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Due grandezze variabili x e y sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante. La costante prende il nome di coefficiente di proporzionalità diretta.

Esempio . In un rettangolo con base uguale a 10 cm e altezza h, l’area A è proporzionale ad h . Infatti $ \frac{A}{h}=10 $ e quindi il rapporto tra A e h è uguale a 10 (quindi il coeffeciente di proporzionalità diretta è 10).

Due grandezze variabili x e y sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante. La costante prende il nome di coefficiente di proporzionalità inversa.

Esempio . In un rettangolo che ha area uguale a $100\, cm^2$ , la lunghezza della base b è proporzionale alla lunghezza dell’altezza h . Infatti $b \cdot h=100$.

Problemi con le proporzioni

Problema del tre semplice. Si dicono problemi del tre semplice quelli in cui entrano in gioco due grandezze direttamente proporzionali o inversamente proporzionali; si conoscono due valori corrispondenti delle due grandezze, si conosce un valore di una grandezza e si deve calcolare il valore corrispondente dell’altra grandezza. In altre parole si conoscono tre valori, due di una grandezza e uno dell’altra grandezza, e occorre determinare il quarto valore, in modo da ottenere una proporzione diretta o inversa.
Esempi . 1. Per comprare 3,5m di una certa stoffa si spende 12 euro, quanto si spende per comprare 5,7m della stessa stoffa?
Si tratta di grandezze direttamente proporzionali, quindi \[ 3,5: 5,7 =12 : x . \]
2.Per imbottigliare una certa quantità di vino occorrono 150 bottiglie da 750ml. Quante bottiglie occorrerebbero per imbottigliare la stessa quantità di vino in bottiglie da 1l?
Si tratta di grandezze inversamente proporzionali, quindi \[150 :x =1: 0,750. \]

Problema del tre composto. Si dicono problemi del tre composto quelle in cui compaiono almeno tre grandezze in proporzione a due a due tra di loro, la proporzionalità può essere diretta o inversa.
Esempio. In un’azienda 16 operai lavorando 8 ore al giorno per 15 giorni producono 15.000 pezzi. Quanti giorni occorrerebbero per produrre, nelle stesse condizioni, 22.000 pezzi con 18 operai che lavorano 6 ore al giorno?

Si sa che per produrre 15.000 pezzi ci vuole il lavoro di 16 operai per 8$\cdot$15 ore. Quindi possiamo dire che per fare un pezzo ci vuole un tempo pari a: \[ \frac{16 \cdot 8 \cdot 15}{15.000}. \] Se vogliamo produrre 22.000 pezzi con 18 operai per 6 ore al giorno invece abbiamo (indicando con x il numero di giorni) che per un pezzo ci vuole \[ \frac{18 \cdot 6 \cdot x}{22.000}. \] Uguagliando le due quantità ricaviamo una proporzione: \[ \frac{16 \cdot 8 \cdot 15}{15.000}=\frac{18 \cdot 6 \cdot x}{22.000} \] dalla quale si può ricavare la x.

Percentuali

La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi. Quando si dice che a è uguale al b% di c ($a = b\%\cdot c)$ si intende che \[ a=\frac{b}{100}\cdot c. \] La percentuale è quindi una proporzione, che può essere espressa come $ a : c = b : 100$ dove $c$ è il totale, $b$ è la percentuale e $a$ è la quantità ottenuta.

Problemi con le percentuali

a) Calcolare la quantità conoscendo il totale e la percentuale.

Esempio. Calcolare il 15% di 1200 euro, cioè risolvere $x=\frac{15}{100}1200$. Proporzione risolutiva 15 :100 =x :1200 , il risultato è 180 euro.

b) Calcolare la percentuale conoscendo il totale e la quantità

Esempio. Su 150 impiegati 45 sono donne. Qual è la percentuale delle donne? In questo caso poniamo uguale a x la percentuale delle donne e quindi $x\% = \frac{45}{150}$. La proporzione risolutiva è $45:150 =x :100$ , il risultato quindi è 30%.

Esempio. Su 325 impiegati di un’azienda ci sono 65 assenti per malattia. La percentuale degli impiegati assenti per malattia è $\frac{65}{325}100\% =20\%$ .

c) Calcolare il totale conoscendo la quantità e la percentuale.

Esempio. Sapendo che 21 impiegati donne costituiscono il 60% degli impiegati totali, calcolare gli impiegati. Proporzione risolutiva $21: x =60 :100$ , risultato $x=\frac{21 \cdot 100}{60} = 35$.

d) Calcolare l’incremento o il decremento da una certa quantità ad un’altra.

Esempio. Nel 2007 si sono vendute 125.000 automobili, nel 2008 se ne sono vendute 132.000. Qual è stato l’incremento percentuale del 2008 rispetto al 2007?
Risultato: $\frac{132000 - 125000}{12500}\cdot 100\%=5,6\%$

e) Aumentare o diminuire un numero di una certa percentuale.

Esempio. Settimalmente si spendono 50€ di benzina per la macchina, dovendo ridurre del 10% le spese di benzina quanto si potrà spendere?
Risultato $50€ \cdot (1 -\frac{10}{100})=45€$ .

Problemi con gli sconti

I problemi con gli sconti sono tipici problemi di percentuali.

a) Noto il prezzo di listino e la percentuale di sconto calcolare il prezzo scontato.

Esempio. Un’auto costa 12.000€, applicando uno sconto del 7% quanto costerà?
Risultato $ 12.000€ \cdot (1-\frac{7}{100}) =11.160€$ .

b) Noto il prezzo di listino e il prezzo scontato calcolare la percentuale di sconto.

Esempio. Un’auto di 12.000€ è stata venduta a 11.000€. Qual è stato lo sconto praticato?
Risultato $ \frac{12.000-11.000}{12000}\cdot 100\% \cong 8,33\%.$

c) Noto lo sconto e la percentuale di sconto calcolare il prezzo di listino.

Esempio. Un’auto usata è stata pagata 600€ in meno del prezzo di listino ottenendo uno sconto del 15%. Qual era il prezzo di listino?
Risultato $600 : x =15:100 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{600 \cdot 100}{15} =4000$.

d) Noto il prezzo scontato e la percentuale di sconto calcolare il prezzo di listino

Esempio. Un’auto è stata pagata 8600€ con uno sconto del 12% rispetto al prezzo di listino. Qual era il prezzo di listino?
Risultato $ 8600 = (1-\frac{12}{100})x \quad \Rightarrow \quad x=\frac{8600}{1-\frac{12}{100}} \cong 9773$.

Problemi di cambio di moneta

Anche i problemi di cambio si possono risolvere con le proporzioni.

a) Sapendo che 1€ vale 1,32$\$ $, quanti dollari valgolo 680€? Proporzione risolvente $1 : 680 =1,32:x$ quindi la risposta è $680 \cdot 1,32\$=897,6 \$ $.

b) Sapendo che 1€ vale 1,32$\$ $,qual è il cambio da dollaro a euro?
Proporzione risolvente \[ 1€ :x =1,32\$:1\] quindi la risposta è $ 1\$= \frac{1}{1,32}€ \cong 0,7575€ $.

c) Sapendo che 1€ vale 1,32$\$ $, quanti euro valgono 1230$\$ $?
Risposta $\frac{1230}{1,32}€ \cong 931,82€ $.

Materiale tratto in parte dal sito matematicamente.it