POTENZE

Una potenza è innanzitutto il prodotto multiplo di un numero con se stesso: a³=a · a · a. La matematica moderna fornisce una generalizzazione naturale di questo concetto: si scrive a^-2 per indicare 1/a² e a^3/5 per la radice quinta di a³.

Potenze con esponente naturale

Possiamo moltiplicare 5 per tre volte con se stesso, cioè formare il prodotto 5 · 5 · 5 e indicarlo con 5³. Possiamo farlo con qualsiasi numero (reale) e usare simboli astratti: se a è un numero, la notazione a³ sta a indicare a · a · a, e se vogliamo lasciare in sospeso anche il numero dei fattori, scriviamo aⁿ ( "a alla n"), dove n rappresenta un numero naturale qualsiasi (n=1,2,3,...). Chiamiamo:

aⁿ una potenza (la "potenza n-esima di a"; si dice anche: "a elevato alla n"),
a la base
n l' esponente

Per lavorare con espressioni del genere si può applicare la seguente regola (identità) di importanza fondamentale:

a^m+n=a^m aⁿ

(2)

Numeri reali e Numeri naturali

a rappresenta un numero reale qualsiasi. m e n possono - per ora - essere numeri naturali arbitrari (m,n = 1,2,3,...). La dimostrazione consiste nel contare i fattori: 5³ (cioè 5 · 5 · 5) moltiplicato per 5⁴ (cioè 5 · 5 · 5 · 5) è il prodotto di 5 con se stesso moltiplicato per 7 volte, cioè 5⁷ ovvero 5³⁺⁴; questa regola connette il prodotto (di potenze) con la somma (degli esponenti). Pur essendo estremamente semplice ha varie conseguenze interessanti come vedremo.

Potenze con esponenti interi

Ha un senso moltiplicare un numero reale $a$ per "-1 volte con se stesso"? Può sembrare strano, ma lasciamoci guidare per un attimo dalla regola (2): se proviamo a inserire $m=1$ e $n=-1$ otteniamo a⁰ = a¹ a^-1. Che cosa potrebbe voler dire a⁰? Proviamo a porre $m=1$ e $n=0$ nella regola (2). Otteniamo a¹ = a¹a⁰. D'altra parte sappiamo che a¹=a, quindi a è uguale ad a moltiplicato con a⁰. Ciò significa che, se vogliamo dare un senso a a⁰, dobbiamo porre

a⁰=1 (3)

Possiamo pensare che a "è stato moltiplicato per zero volte con se stesso".

Riguardiamo l'enunciato a⁰ = a¹ a^-1. Dalla (3) segue a¹a^-1 = 1, quindi, se gli esponenti negativi hanno un senso, avremo che a^-1 è il reciproco di a:

a^-1 = 1/a (4)

Si noti però che questo è solo possibile quando $a\ne 0$. Vediamo dunque che la frase "$a$ viene moltiplicato per -1 volte con se stesso" può assumere un significato: moltiplicare zero volte corrisponde al numero 1 per la (3), e un numero "negativo" di fattori corrisponde alla divisione. Infatti, se usiamo ancora una volta la regola (2) ponendo $n=-m$, dove $m$ è un numero naturale arbitrario (quindi $n$ è negativo) otteniamo a⁰ = a^m a^-m, e la (3) implica che a^-m è il reciproco di a^m:

a^-m = 1/a^m (5)

che anche questa volta possiamo formare soltanto quando $a\ne 0$; questo è il risultato principale del paragrafo, la (4) ne è un caso particolare ($m=1$). Si vede facilmente che la regola (2) è valida anche quando gli esponenti $m$ e $n$ sono numeri interi arbitrari.

Potenze con esponenti razionali

Chiediamoci adesso se ha un senso formare una potenza con un numero razionale come esponente.
Ricordiamoci: un numero razionale è un numero reale che può essere scritto come quoziente di due numeri interi (una frazione). Ha un senso dunque moltiplicare un numero reale $a$ per "$1/2$ volta con se stesso"? Cerchiamo anche questa volta di farci guidare dalla regola (2). Poniamo $m=1/2$ e $n=1/2$ nella (2) e otteniamo $a^1=a^{1/2} \cdot a^{1/2} \equiv (a^{1/2})^2$. Poichè $a^1=a$, la cosa ha solo un senso quando $a^{1/2}$ è la radice quadrata di a:

$a^{1/2}=\sqrt{a}$ (6)

che naturalmente possiamo formare soltanto quando $a\ge0$.

Prima di continuare questo ragionamento soffermiamoci su una regola più generale che segue dalla (2). Moltiplicando entrambi i lati della (2) con a^k, dove k è un numero naturale, e applicando la (2) abbiamo

a^m+n+k=a^m aⁿ a^k (7)

e più in generale per un numero arbitrario di addendi nell'esponente avremo

a^m+n+...+k=a^m aⁿ ... a^k (8)

questo ci permette di estendere il nostro ragionamento al reciproco di un numero naturale qualsiasi q. Infatti se consideriamo la (8) nel caso in cui l'esponente contiene q addendi di forma 1/q, otteniamo a¹ = a^1/q · a^1/q · ... · a^1/q $\equiv$ (a^1/q)^q, da cui risulta che a^1/q è la q-esima radice di a, cioè quel numero (positivo) reale la qui potenza q-esima è a:

a^1/q = ^q√a (9)

Anche questo è soltanto possibile quando $a\ge0$.
Adesso dobbiamo fare un ultimo passo per poter considerare il caso di un numero razionale arbitrario nell'esponente. Cominciamo con i numeri razionali positivi (quindi quozienti p/q di due numeri naturali). Osserviamo che quando nella (8) l'esponente contiene p addendi di forma 1/q, abbiamo a^p/q = (a^1/q)^p, dove p e q sono numeri naturali arbitrari e a^1/q è definito dalla (9). Dunque a^p/q è la p-esima potenza della radice q-esima di a, e si vede facilmente che ciò coincide con la q-esima radice della p-esima potenza di a. Abbiamo quindi

a^p/q = (a^1/q)^p = (a^p)^1/q (10)

Infine, se vogliamo mantenere valida la relazione (5) anche quando m è un numero razionale, otteniamo la seguente definizione per i numeri razionali negativi :

a^-p/q = 1/(a^p/q) (11)

dove il denominatore è definito dalla (10). Possiamo verificare che le regole (2) e (5) rimangono valide anche per gli esponenti razionali.

Inoltre si derivano facilmente anche altre regole per il calcolo con le potenze:

a^m-n = a^m/aⁿ (12)

(a^m)ⁿ = a^m·n (13)

(1/a)^m = 1/a^m (14)

(a · b)^m = a^m b^m (15)

(a/b)^m = (a^m)/(b^m) (16)

(a/b)^-m = (b/a)^m (17)

nelle (12) e (17) si hanno numeri razionali arbitrari $m$ e $n$. La (14) ad esempio per m = 1/2 ci dice che la radice quadrata di 1/a è uguale al reciproco della radice quadrata di a.
Il passo successivo consisterebbe nell'estendere il concetto di potenza anche al caso in cui l'esponente è un numero reale arbitrario. Ciò avverrà in un capitolo successivo.

Vedi capitolo su esponente reale

Calcolo con le potenze

Semplificare la notazione

Il concetto esteso di potenza ha un effetto pratico: ci permette di evitare l'uso di radici e frazioni nelle espressioni. Ad esempio

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(18)

può essere scritto come $(1- x^2){-1/2}$.

Trasformare espressioni

La notazione con le potenze ci fornisce una visione unificata di operazioni diverse, come calcolare il quadrato, estrarre radici o formare il reciproco. Guardiamo un esempio. Come si può semplificare la seguente espressione?

$\sqrt{x}(1+y)^2 x \sqrt{1+y}$ (19)

La notazione unificata ci permette di scriverla in forma

$x^{1/2}(1+y)^2x(1+y)^{1/2}$ (20)

e così basta applicare due volte la regola (12) - letta da destra verso sinistra - per trasformarla in

$x^{-1/2}(1+y)^{3/2}.$ (21)

Denominatore razionale

Pensiamo di dover calcolare

$\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$ (22)

Moltiplicando numeratore e denominatore della frazione con $\sqrt{2}$ la (22) diventa

$\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$ (23)

dalla quale si ricava subito il risultato

$\frac{\sqrt{2}}{2 }$ (24)

Il trucco è di "rendere razionale il denominatore".

In generale può essere utile trasformare in questa maniera le frazioni con radici quadrate nel denominatore. La chiave è l'identità

$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$ (25)

valida per qualsiasi $a>0$.

Potenze e l'ordinamento dei numeri reali

Intuitivamente siamo abituati a pensare che elevare a potenza un numero maggiore di 1 aumenta la sua grandezza. Esempio: $2^2 = 4>2 $. Ciò non è sempre valido quando l'esponente è razionale. Ad esempio 4^1/2 fa 2 ed è quindi minore di 4. Anche gli esponenti negativi possono andare contro all'intuizione per l'ordinamento dei numeri reali. Per esempio (1/4)^-1/2 = 2 è maggiore di 1/4. Per ovviare a questi pericoli conviene tenere presente le seguenti regole, dove $m$ ed $m'$ sono numeri razionali:

Quando la base a>1, si ha che m < m' implica a^m < a^m'
Quando la base a<1, si ha che m < m' implica a^m > a^m'

Ponendo m oppure m' uguale a 0 oppure 1 si ottengono le situazioni più frequenti:

Esempio 1: Se a>1 ed m<1, allora a^m < a. (porre m' = 1 nella prima regola).

Esempio 2: Se a>1 ed m>0, allora a^m > 1. (porre m = 0 nella prima regola e sostituire m' con m). Possiamo quindi dire con certezza che il numero 1.01^0.7 è maggiore di 1 senza starlo a calcolare.

Anche le regole di calcolo per le potenze tornano utili in questi casi:

Esempio 3: Il numero 0.02^0.7 è maggiore o minore di 1?
Poichè 0,2 = 1/5, possiamo scrivere la potenza come (1/5)^0.7 = 1/(5^0.7). Ma (per la regola trovata nell'esempio (2) sappiamo che 5^0.7 > 1, quindi il suo reciproco è minore di 1.

Esempio 4: Il numero 0.02^0.7 è maggiore o minore di 1?
Scriviamo 0.02^0.7 = 1/(0.2^0.7) che è il reciproco della potenza considerata nell'esempio 3 e quindi sappiamo subito che la risposta è "maggiore di 1".
Per potenze con lo stesso esponente e base diversa si usino le regole seguenti (che si ricavano facilmente dalle precedenti): per 0 < a < b vale:

Se m>0, allora a^m < b^m;
Se m<0, allora a^m > b^m.

Riassunto e Prospettive

In quest'ultimo paragrafo riassumiamo le definizioni per le potenze con esponente razionale e diamo uno sguardo ai temi dei capitoli successivi.

Riassunto

Nel secondo e terzo paragrafo di questo capitolo abbiamo definito potenze a^x in cui l'esponente x è un numero razionale qualsiasi (cioè un numero reale che può essere scritto come quoziente di due numeri interi). Passiamo in rassegna le definizioni:

L'esponente è un numero naturale:
Per un numero naturale (m = 1,2,3,...) la potenza a^m è il prodotto m-esimo di a con se stesso (la potenza m-esima di a): a · a · ... · a.

L'esponente è zero:
In questo caso poniamo a⁰ = 1. Si veda (3).

L'esponente è un numero negativo intero:
Per un numero naturale m si ha a^-m = 1/(a^m). Si veda (5).

L'esponente è il reciproco di un numero naturale:
Per un numero naturale q la potenza a^1/q è la radice q-esima di a, cioè quel numero positivo la cui potenza q-esima è uguale ad a. Si veda (9).

L'esponente è un numero positivo razionale:
Per due numeri naturali p e q si ha a^p/q = (a^p)^1/q, cioè la radice q-esima di a^p. Ciò coincide con (a^1/q)^p, cioè la potenza p-esima di a^1/q, dove a^1/q è definito al punto 4. Si veda (10).

L'esponente è un numero negativo razionale:
Per un numero positivo razionale x si ha a^-x = 1/(a^x), dove a^x è definito al punto 5. Ponendo x=p/q ritroviamo la (11).

Qui a è un numero reale (la base):

che deve soddisfare $a\ge0$ ogni volta che si estrae una radice.
che deve soddisfare $a\ne 0$ ogni volta che si forma il reciproco.

Così è definita la potenza a^x per qualsiasi x razionale. Le definizioni sono scelte in maniera tale da garantire la validità della regola (2) anche per esponenti razionali. Di conseguenza si ottengono le identità (12) -(17).

Prospettive

Avevamo già visto in precedenza (nel capitolo "Numeri") il concetto di potenza. Adesso l'abbiamo precisato e generalizzato. Lo svilupperemo ulteriormente e lo analizzeremo nei capitoli successivi:

Quando fissiamo l'esponente e consideriamo la dipendenza di una potenza dalla sua base, cioè la funzione x→ x^m con m fisso, si parla di funzione potenza. Proprietà e grafici di queste funzioni quando l'esponente m è intero si trovano nel capitolo "Funzioni".
La definizione di potenza può essere estesa ad esponenti reali. Ciò avverrà nel capitolo "Funzioni esponenziali e logaritmi"
Nello stesso capitolo considereremo anche il caso in cui si fissa la base e si studia la dipendenza di una potenza dal suo esponente. Si tratta della funzione x→ a^x con a>0 fisso, la funzione esponenziale. Tali funzioni si usano per descrivere processi di crescita o decadimento e danno luogo alla definizione del logaritmo.
Infine si possono definire anche potenze con numeri complessi come base o come esponente.

Il motore per questi ulteriori sviluppi sarà ancora la semplice regola (2).

a^m-n = a^m/aⁿ	(12)
(a^m)ⁿ = a^m·n	(13)
(1/a)^m = 1/a^m	(14)
(a · b)^m = a^m b^m	(15)
(a/b)^m = (a^m)/(b^m)	(16)
(a/b)^-m = (b/a)^m	(17)