Dimostrazione delle relazioni in un triangolo rettangolo
| $$\sin\,\alpha=\frac{cateto\,opposto}{ipotenusa}$$ |
| $$\cos\,\alpha=\frac{cateto\,adiacente}{ipotenusa}$$ |
Sia dato un triangolo rettangolo. Chiamiamo $\alpha$ l'angolo compreso fra l'ipotenusa $c$ e il cateto $b$. Quindi $b$ è il cateto adiacente e $a$ è il cateto opposto.
- Consideriamo un altro triangolo rettangolo, con lo stesso angolo $\alpha$ e con ipotenusa di lunghezza 1. Per la definizione delle funzioni trigonometriche i cateti del nuovo triangolo hanno lunghezza $sin\, \alpha$ e $cos\ \alpha$.
- Ora sovrapponiamo i due triangoli, come nel seguente disegno:
Ovviamente questo è possibile solo perchè hanno l'angolo $\alpha$ in comune. Il triangolo originale sarà più grande oppure più piccolo di quello ausiliare, a seconda che $c$ sia maggiore o minore di 1. Nel nostro schizzo abbiamo $c < 1$. Il triangolo dato è raffigurato con colori forti, mentre quello ausiliare è raffigurato con colori più deboli.
- Ovviamente i due triangoli sono simili. Per il Teorema di Talete abbiamo:
$$\frac{sin\,\alpha}{1} = \frac{a}{c}$$ $$\frac{cos\,\alpha}{1} = \frac{b}{c}$$
che è esattamente l'enunciato che volevamo dimostrare. - Con ciò abbiamo anche dimostrato che i rapporti $\frac{a}{c}$ e $\frac{b}{c}$ dipendono solo dall'angolo $\alpha$, e non dalle dimensioni del triangolo dato.
- Commento: Questo argomento ci mostra come $sin\, \alpha$ e $cos\, \alpha$ possano essere considerati fattori di riduzione. È di questi fattori che il cateto opposto, rispettivamente il cateto adiacente, sono più corti rispetto all'ipotenusa, e questi fattori sono identici in ogni triangolo rettangolo con angolo $\alpha$.