Seno e Coseno per angoli speciali - dimostrazioni:
- I valori per $\alpha = 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$ e $270^\circ$ derivano immediatamente dalle definizioni o dalla circonferenza goniometrica.
- Dimostrazione per $\alpha = 30^\circ$ e $60^\circ$
Questi angoli compaiono nel triangolo equilatero se si riporta anche un'altezza:
Per il triangolo evidenziato vale per il Teorema di Pitagora
$$a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h^2$$ cioè $$\frac{3a^2}{4} = h^2$$ per cui $$h = \frac{1}{2}\sqrt{3}a$$ L'ipotenusa del triangolo evidenziato è $\alpha$. Per l'angolo $30^\circ$ il cateto adiacente è $h$ e il cateto opposto $\frac{a}{2}$; per l'angolo $60^\circ$ invece $h$ è il cateto opposto mentre $\frac{a}{2}$ è il cateto adiacente. Da ciò segue immediatamente
$$\sin\,(30^\circ) = \frac{a\2}{a} = \frac{1}{2}$$ $$\cos\,(30^\circ) = \frac{h}{a} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$$ $$\sin\,(60^\circ) = \frac{h}{a} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$$ $$\sin\,(60^\circ) = \frac{a\2}{a} = \frac{1}{2}$$ $$h = \frac{1}{2}\sqrt{3}a$$ (dove abbiamo reso razionali i denominatori).
- Dimostrazione per a = 45°
Consideriamo un triangolo retto-isoscele:
In questo caso il Teorema di Pitagora ci dice che
$c = a\sqrt{2}$ (che è poi la formula per la diagonale del quadrato). L'ipotenusa del triangolo è $c$. Il cateto adiacente e quello opposto a $45^\circ$ sono entrambi uguali ad $\alpha$. Quindi
$\sin\,(45^\circ) = \cos\,(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \equiv \frac{1}{2}\sqrt{2}$ (anche qui abbiamo reso razionali i denominatori).