Dimostriamo che esiste un numero infinito di numeri primi
La seguente dimostrazione risale al matematico greco Euclide (Euclide di Alessandria).
Proviamo ad assumere che esista solo un numero finito di numeri primi. Se ciò fosse vero, allora dovrebbe esserci un numero primo più grande di tutti gli altri. Chiamiamolo n. L'elenco di tutti i numeri primi sarebbe quindi
| (1) |
Questa ipotesi non può essere vera. Infatti se consideriamo il numero
| (2) |
(cioè il prodotto di tutti i numeri primi più 1) vediamo che:
Questo numero sarebbe molto più grande di n, non potrebbe essere dunque un numero primo. Avrebbe perciò un divisore (diverso da 1 e dal numero stesso). Questo divisore potrebbe essere scomposto in fattori primi, e tutti questi fattori primi sarebbero divisori del numero (2) (infatti se un numero ad esempio è divisibile per 10, allora è anche divisibile per i fattori primi 2 e 5). Dovrebbe esserci quindi almeno un numero primo che divide (2).
D'altra parte (2) non è divisibile per uno dei numeri del nostro elenco 2, 3, 5, ... n, perché si ha sempre resto 1 !!! Avremmo quindi trovato un numero primo che non è compreso nel nostro elenco. Ma ciò contraddice l'ipotesi che (1) sia l'elenco di tutti i numeri primi!
L'ipotesi che esiste solo un numero finito di numeri primi ci conduce ad una contraddizione (logica) e quindi non può essere vera! (Perché vale in generale: Un enunciato con cui si può costruire una contraddizione non può essere vero.)
Abbiamo quindi dimostrato:
Questo metodo dimostrativo si chiama "dimostrazione per assurdo": Se assumendo il contrario di un enunciato si può costruire una contraddizione, allora l'enunciato deve essere vero.