ESPRESSIONI
Perchè il calcolo letterale?
La matematica ha a che fare con il "calcolare". Ma in ogni libro di matematica i calcoli vengono spesso eseguiti su lettere invece che su numeri.
Infatti non appena l'interesse supera i singoli numeri da calcolare, ci ritroviamo a fare osservazioni di carattere generale. Quali sono le regole che adoperiamo quando usiamo i numeri ? Una delle più semplici è la seguente: quando sommiamo due numeri reali, l'ordine non ha importanza. Ad esempio:
| $2 + 3 = 3 + 2$ | (1) |
ed anche $3 + 7 = 7 + 3$ oppure $1,3 + 17 = 17 + 1,3$, e così via. Concisamente possiamo scrivere:
| x + y = y + x | (2) |
se $x$ ed $y$ sono numeri reali. Ecco un enunciato che tratta di numeri pur contenendo soltanto lettere. Si chiama legge commutativa dell'addizione.
C'è anche la legge commutativa della moltiplicazione:
| $x\cdot y = y\cdot x$ | (3) |
se x ed y sono numeri reali.
C'è poi un enunciato che mette in relazione addizione e moltiplicazione
| $a\,(b + c) = a\cdot b + a\cdot c$ | (4) |
per tutti i numeri reali $a$, $b$, $c$ e si chiama legge distributiva.
Variabili ed espressioni
In tutti gli esempi visti sopra abbiamo usato simboli astratti a posto di numeri concreti. I simboli (le lettere) usati in questo senso si chiamano variabili. Con le variabili si formano le espressioni algebriche. Esempi di espressioni sono $\,x$, $\,a + b$ e $\,-(-s)$, ma anche espressioni più complicate come:
| x2 | a2(x-y) | a2+b2 | (5) |
Potenze
Possiamo usare le potenze, ad esempio i quadrati in (5), come per i numeri concreti: a0, al posto di 1 , a1 al posto di a , a2 al posto di a · a, a3 a posto di a · a · a, ecc. In generale una potenza ha la forma an, ed n si chiama esponente. Vale la regola:
| (a · b)n=an · bn | (6) |
per qualsiasi numero intero non negativo n. Un'altra regola:
| an · am=am+n | (7) |
Nei capitoli successivi estenderemo il concetto di potenza ammettendo come esponenti anche numeri negativi, razionali e infine reali arbitrari.Queste regole rimarranno però sempre valide.
Polinomi e coefficienti
Le espressioni costruite con variabili e numeri applicando le operazioni di moltiplicazione, addizione e sottrazione si chiamano polinomi. Ad esempio:
| 5x5 + 4 x3 - 7 x2 + x - 1 | (8) |
è un polinomio nella variabile $x$ e
| 3/2 a3 b2 -2,17 a3 b + 5/3 a b2 -a + 2π b | (9) |
è un polinomio nelle variabili $a$ e $b$. I numeri 5, 4, -7, 1, -1 che compaiono nel primo polinomio e 3/2, -2.17, 5/3, -1, 2π nel secondo polinomio si chiamano coefficienti. (si noti che π è solo un'abbreviazione per il numero reale 3.1415925..., non una variabile! Non tutte le lettere sono automaticamente variabili). Un polinomio che consiste di un'unica potenza e un coefficiente, come ad esempio 3 x5, si chiama monomio.
Quando un polinomio dipende da un'unica variabile, la massima potenza con cui compare questa variabile si dice grado oppure grado del polinomio. Ad esempio (8) è un polinomio di quinto grado. Una costante (in cui non compare una variabile) può essere vista come polinomio di grado zero (poiché x0= 1).
Frazioni algebriche
Se usiamo anche la divisione, otteniamo espressioni dette algebriche come:
| x2y | a+ba-b | πu (v2 - w |
(10) |
Qui c'è da ricordare che possiamo dividere per qualsiasi numero tranne lo zero! Può quindi accadere che l'espressione non sia definita per certe scelte concrete delle variabili (non possiamo scegliere ad esempio $x = 2$, $y = 0$ nella prima espressione, oppure $a = 3$, $b = 3$ nella seconda, oppure $u = 0$, $v = 5$, $w = 5$ nella terza!) Ma questo per adesso non ci deve preoccupare. Conveniamo che in una frazione algebrica le variabili possono soltanto assumere valori per i quali il denominatore non diventa zero.
Poiché la potenza di una frazione è sempre la frazione delle potenze, si ha
| ( ab )2 = a2b2 | (11) |
Parleremo più avanti del calcolo con le frazioni algebriche.
Espressioni con le radici
Un' espressione può anche contenere radici, come ad esempio:
| $\sqrt{x+6}+ \sqrt{x-2}$ | (12) |
Anche qui dobbiamo ricordare che non esiste la radice di un numero negativo. Quindi questa espressione ha valore 4 quando $x = 3$ (si verifichi!), ma non è definita per $x = 1$ (si verifichi anche questo!).
Due regole:
- La radice di un prodotto è il prodotto delle radici: √a · b = √a · √b.
- La radice di una frazione è la frazione delle radici di numeratore e denominatore : √a/b = √a / √b
Identità
Abbiamo già visto che le espressioni possono essere utilizzate per scrivere regole di calcolo. La struttura di fondo è sempre la stessa: si scrivono due espressioni di aspetto diverso che però hanno la proprietà di produrre sempre lo stesso risultato quando sostituiamo le variabili con numeri concreti. Tali enunciati si chiamano identità. Un identità diventa un enunciato vero ogni qual volta si sostituiscono le variabili con numeri concreti.
Gli enunciati (2), (3), (4), (6), (7) e (11) sono esempi di identità. Possiamo usarle per costruire altre regole che sono sempre valide, come ad esempio:
| x · (y2+z2) = x · y2 + x · z2 | (13) |
che è una semplice conseguenza di (4) ottenuta sostituendo le variabili a, b, c con x, y2, z2.
Trasformare le espressioni
Calcolo con le parentesi
Le identità servono per trasformare le espressioni. Spesso può essere utile concatenare varie trasformazioni. Consideriamo per esempio l'espressione $3 (x + 2) - 2x$. La possiamo semplificare "togliendo la parentesi" (cioè applicando la legge distributiva), invertendo l'ordine degli addendi (legge commutativa dell'addizione) e infine raccogliendo i multipli di $x$ (legge distributiva). Ecco il calcolo:
| $$3(x+2) -2x = 3x + 6 -2x = 3x - 2x + 6 = (3 - 2)x + 6 = x + 6$$ | (14) |
Tutte queste espressioni producono lo stesso valore se sostituiamo $x$ con un numero qualsiasi (si provi $x = 4$!). L'ultima è senza dubbio la versione migliore. Con un poco di esercizio impareremo a tralasciare alcuni passi intermedi e a scrivere direttamente:
| $$3(x+2) -2x = 3x + 6 -2x= x+6$$ | (15) |
A volte - come nell'esempio appena visto - un'espressione si semplifica togliendo le parentesi. In altri casi è più conveniente il contrario, cioè raccogliere gli addendi a fattore comune. Esempio: gli addendi dell'espressione x + xy + x2 hanno x come fattore comune. Quindi possiamo scrivere:
| x + x·y + x2 = x(1 + y +x) | (16) |
che rappresenta una semplificazione (infatti la seconda espressione può essere descritta con le parole "si sommino $x$ ed $y$, si aggiunga 1 e si moltiplichi il risultato con x". Si cerchi di descrivere la prima espressione a parole e si noterà la differenza!) Una situazione frequente è la moltiplicazione di due espressioni in parentesi, come nel caso seguente:
| $$(a+b) (x+y)$$ | (17) |
Anche qui si possono togliere le parentesi. Dapprima lasceremo in parentesi l'espressione $(x + y)$ e useremo la legge distributiva per $(a + b)$ ottenendo:
| $$(a+b)(x+y)= a(x + y) + b(x + y)$$ | (18) |
e in un secondo passo:
| $$ax + ay + bx + by$$ | (19) |
Abbiamo quindi l'identità
| $$(a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by$$ | (20) |
che ci dice che il prodotto di due somme si calcola moltiplicando ciascun addendo nella prima parentesi con ciascun addendo nella seconda parentesi. Questa è una regola da non dimenticare!
Tre esempi di questa regola:
| (3a + w)(b + 2a) = 3ab + 3a·2a + wb + w·2a = 3ab + 6a2 + wb + 2wa | (21) |
| (3a + w)(b - 2a) = 3ab + 3a·(-2a) + wb + w·(-2a) = 3ab - 6a2 + wb + 2wa | (22) |
| (3a - 1)(3a - 2) = 9a2 - 6a - 3a + 2= = 9a2 - 9a + 2 | (23) |
I primi due esempi sono dettagliati, l'ultimo è più conciso. Si noti come abbiamo trattato il segno negativo.
Lo stesso procedimento naturalmente può essere utilizzato per espressioni in parentesi con più di due addendi.
Fattorizzazione
A volte ci troviamo di fronte al problema opposto: abbiamo un'espressione e vorremmo sapere se la possiamo scrivere come prodotto di più espressioni (cioè se la possiamo fattorizzare). Esempio: l'espressione data è:
| x2 + 3x + 2 | (24) |
Si controlli con un breve calcolo che essa non è altro che:
| (x+1) · (x+2) | (25) |
Altro esempio: l'espressione
| x3 - 6x2 + 11x - 6 | (26) |
non è altro che
| (x-1)(x-2)(x-3) | (27) |
Quale delle due espressioni (26) e (27) vi sembra più semplice? Non sempre si riesce a vedere facilmente se un'espressione è un prodotto di espressioni più semplici oppure no. Vedremo qualche "trucco" più avanti parlando di prodotti notevoli. Un approccio sistematico è fornito dal Teorema di Vieta di cui ci occuperemo in un capitolo successivo. Un altro procedimento è quello di dividere un polinomio per un altro calcolando il "resto", analogamente a ciò che avviene per i numeri.
Trasformare le frazioni algebriche
Passiamo adesso alle espressioni con divisione, cioè alle frazioni algebriche. Qui valgono le stesse regole che per le frazioni numeriche.
Calcolo con le frazioni algebriche.
La semplificazione di una frazione algebrica è uno strumento importante che dà spesso luogo ad equivoci. Si ricordi che possono essere soltanto eliminati fattori comuni di numeratore e denominatore. Per esempio il calcolo:
| $$ \frac{4a+14b}{2x-6}= \frac{2a+7b}{x-3}$$ | (28) |
è corretto: abbiamo eliminato il fattore 2 che era comune a ciascun addendo del numeratore e del denominatore. Passo per passo, quello che è avvenuto è
| $$\frac{4a+14b}{2x-6}=\frac{2(2a+7b)}{2(x-3)}=\frac{2a+7b}{x-3}$$ | (29) |
Invece il calcolo:
| $$\frac{5a+b}{5x-1} = \frac{a+b}{x-1}$$ | (30) |
è errato: infatti 5 non è un fattore comune di numeratore e denominatore (si verifichi inserendo $a = b = 1$ e $x = 2$!)
Lo stesso vale per le variabili. Il seguente calcolo è corretto:
| $$\frac{x^3+2x}{x^2+x} = \frac{x^2+2}{x+1}$$ | (31) |
mentre è errato
| $$\frac{ax+1}{ax-1} = \frac{x+1}{x-1}$$ | (32) |
Identità frequenti: prodotti notevoli
Le seguenti identità - detti prodotti notevoli - sono da ricordare:
| (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 | (33) |
| (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 | (34) |
| (a + b)(a - b) = a2 - b2 | (35) |
Potete verificare le tre identità con i metodi discussi nel paragrafo precedente.
Queste identità si applicano tipicamente per togliere le parentesi, come in
| $$(2u - 3)^2 = (2u)^2 - 2 (2u) 3 + 3^2 = 4 u^2 - 12u + 9$$ | (36) |
che è una applicazione della (57) con a = 2 u e b = 3, ma anche per il problema opposto: la fattorizzazione, cioè per scrivere un'espressione in forma di prodotto. Esempio: possiamo scrivere come prodotto la seguente espressione?
| $$x^2 y^2 -4$$ | (37) |
si, perchè la (35) con $a = xy$ e $b = 2$ diventa l'identità
| $$x^2 y^2 -4 = (xy +2) (xy -2)$$ | (38) |
Con un po' di esperienza si impara a riconoscere questo tipo di strutture. L'identità (35) ci dice in parole povere che la differenza di due quadrati può essere sempre scritta come prodotto. Vedete che l'espressione (37) è la differenza di due quadrati?
Altro esempio: Possiamo scrivere come prodotto la seguente espressione?
| x2 + 2x + 1 | (39) |
Sì, perché la (33) con $a = x$ e $b = 1$ diventa l'identità
| x2 + 2x + 1= (x + 1)2 | (40) |
Vediamo che le identità (33), (34) e (35) possono essere lette
- "da sinistra a destra" (togliere le parentesi) e
- "da destra a sinistra" (scrivere espressioni come prodotti, cioè fattorizzare)
a seconda di quello che ci serve al momento.
Altre identità notevoli riguardano i cubi:
| (a + b)3 = a3+b3+3a2b+3ab2 | (41) |
| a3 + b3 = (a+b)(a2-ab+b2) | (42) |
| a3 -b3 = (a-b)(a2+ab+b2) | (43) |