INSIEMI
Gli insiemi e la loro descrizione
Un insieme è una collezione di oggetti ben definiti. Tali oggetti si chiamano elementi dell'insieme. L'area della matematica che studia le conseguenze di questa semplice idea si chiama teoria degli insiemi.
Gli elementi degli insiemi in genere sono oggetti matematici, ad esempi numeri.
Consideriamo per esempio l'insieme che consiste dei numeri 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Si indica con parentesi graffe come
| $\{2,3,4,5,6,7\}$. | (1) |
L'ordine in cui sono scritti gli elementi non ha nessuna importanza. Perciò insieme
| $\{4,7,2,5,6,3\}$ | (2) |
coincide con (1). Inoltre non importa quante volte un elemento è ripetuto in un insieme, quindi per esempio anche l'insieme
| $\{2,2,2,2,3,4,5,5,5,6,7\}$ |
coincide con (1), anche se in genere si ritiene non corretto (perchè inutile) ripetere gli elementi più di una volta. Se vogliamo dare un nome all'insieme in (1), ad esempio A, scriviamo
| $A= \{2,3,4,5,6,7\}$. | (3) |
Il fatto che il numero 3 è un elemento di questo insieme si indica con
| $ 3 \in A$ | (4) |
( "3 è elemento di A", oppure "3 appartiene ad A"). Il numero 9 non è elemento del nostro insieme, e ciò si indica con
| $9 \notin A$ | (5) |
C'è un'altra notazione che si usa per definire un insieme: invece di elencare i suoi elementi, si può definire l'insieme A come
| $A = \{n \mid n$ è un numero intero maggiore di 1 e minore di 8$\}$ | (6) |
Troveremo spesso questa forma. Le sue parti si leggono così:
| A= | " A è |
| $\{n$ | l'insieme di tutti gli $n$ |
| $\mid$ | tali che |
| $n$ è un numero intero maggiore di 1 e minore di 8$\}$ | $n$ è un numero intero maggiore di 1 e minore di 8" |
Si tratta quindi di una serie di simboli ed enunciati che possono essere tradotti direttamente nel linguaggio comune e che
ci dicono quali oggetti comprende l'insieme A. La chiave per la raduzione in forma linguistica è la riga verticale
$\mid$ , che va letta come "tale che" oppure "per i quali vale".
Dopo questo simbolo sono elencate le proprietà che caratterizzano l'insieme. Si noti che non è
importante quale simbolo si usa dopo la parentesi graffa. Invece di $n$ potremmo usare un qualsiasi altro simbolo, per
esempio $x$:
| $\{ x \mid x$ è un numero intero maggiore di 1 e minore di 8 $\}$ | (7) |
quindi "l'insieme di tutti gli $x$, per i quali vale: $x$ è un numero intero che è maggore di 1 e minore di 8" è ancora il nostro insieme A.
Tale possibilità di descrivere un insieme è particolarmente utile quando è complicato o addirittura impossibile elencare gli elementi, come ad esempio per l'insieme:
| $\mathbb{N} = \{ n \mid n$ è un numero intero positivo $\}$ | (8) |
di tutti i numeri positivi interi - che ha un numero infinito di elementi. Potremmo anche scrivere questo insieme come:
| $\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...\}$ | (9) |
dove i puntini stanno a indicare "tutti i rimanenti elementi", (i numeri interi positivi si chiamano anche
numeri naturali e sono oggetti matematici importanti che incontreremo spesso).
Per l'insieme
| $X = \{ n \mid n $ è un numero intero positivo, per il quale la somma delle cifre è 3 oppure 7 $\}$ | (10) |
però un tale elenco sarebbe talmente complicato che il vantaggio della descrizione per mezzo della proprietà che caratterizza i suoi elementi è evidente.
Gli insiemi $\mathbb{N}$ ed $X$ contengono un numero infinito di elementi. Tali insiemi si dicono insiemi infiniti. Un insieme finito è invece un insieme che contiene solo un numero finito di elementi.
Per semplificare la notazione un insieme può anche essere indicato in modo seguente:
| $B = \{x \in A \mid x $ è un numero pari $\}$ | (11) |
Si legge "B è l'insieme di tutti gli $x \in A$, per i quali vale: $x$ è un numero pari". B consiste di tutti gli elementi di A che sono numeri pari. Se passiamo in rassegna gli elementi dell'insieme A definito sopra, vediamo che solo 2, 4 e 6 sono numeri pari. Perciò l'insieme B contiene esattamente questi tre elementi:
| $B=\{2,4,6\}$ | (12) |
Per dare altri esempi, scriviamo l'insieme dei numeri naturali dispari come
| $U= \{x \in N\mid x$ è un numero naturale dispari$\}$ | (13) |
e definiamo un insieme
| $C = \{ 5, 6, 7, 8, 9 \}$ | (14) |
Possiamo anche considerare un insieme che non ha elementi, che chiamiamo appunto insieme vuoto e che indichiamo con $\{\}$ oppure con $\emptyset$.
Nei prossimi paragrafi utilizzeremo i sei insiemi A, B, C, N, U ed X per illustrare relazioni e operazioni fra insiemi.
Sottoinsiemi
Abbiamo visto alcuni esempi di insiemi e possiamo osservare adesso che fra insiemi possono valere determinate relazioni.
Ad esempio tutti gli elementi di A sono anche elementi di $\mathbb{N}$. L'insieme $\mathbb{N}$ è più ampio
(potremmo dire "più grande ") dell'insieme A.
L'espressione matematica di questo fatto è: A è sottoinsieme di (oppure è incluso in)
$\mathbb{N}$, e $\mathbb{N}$ include A.
Ciò si indica con:
| $A \subseteq \mathbb{N}$ ovvero $\mathbb{N} \supseteq A$ | (15) |
La relazione $A \subseteq \mathbb{N}$ sta ad indicare che ogni elemento di A è anche elemento di $\mathbb{N}$. Formalmente possiamo scrivere:
| ""$x\in A$ implica $x\in \mathbb{N}$" | (16) |
o anche più brevemente
| $x\in A \rightarrow x\in \mathbb{N}$ | (17) |
Ne segue fra l'altro come caso particolare che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso: $A \subseteq A$, perchè "$x \in A$ implica (ovviamente) $x \in A$".
Un altro esempio è $B \subseteq A$, perchè l'insieme $B$ definito sopra consiste per definizione degli elementi di $A$ che soddisfano una determinata proprietà (e cioè essere numeri pari). Le due relazioni $B \subseteq A$ e $A \subseteq \mathbb{N}$ possono essere riassunte in forma $B \subseteq A \subseteq \mathbb{N}$.
Quando un insieme è sottoinsieme di un altro e i due insiemi sono distinti, si parla di un sottoinsieme proprio. Ad esempio A è un sottoinsieme proprio di $\mathbb{N}$, poichè $A \ne \mathbb{N}$. Infatti esiste - almeno - un elemento di $\mathbb{N}$, che non è elemento di A.
Invece di $\subseteq$ e $\supseteq$ si usano a volte anche i simboli $\subset$ e $\supset$.
Nota che l'insieme vuoto è contenuto in qualsiasi altro insieme!
Attenzione: i simboli $\subset$ e $\supset$ vengono spesso usati per sottoinsiemi o inclusioni propri. Purtroppo non c'è un uso omogeneo di questi simboli.
Intersezione ed unione
Due (o più) insiemi possono avere elementi in comune. L'insieme di tutti questi elementi comuni si chiama insieme intersezione (anche intersezione) e si indica con il simbolo $\cap$. Formiamo ad esempio l'intersezione dei due insiemi A ed U. La definizione formale è:
| $A \cap U =\{x\mid x\in A$ ed $x \in U\}$ | (18) |
Quali numeri appartengono all'insieme A (sono cioè numeri interi maggiori di 1 e minori di 8) e sono dispari? Si tratta esattamente dei numeri 3, 5 e 7. Perciò:
| $A \cap U =\{ 3, 5, 7\}$ | (19) |
un esempio per l'intersezione di tre insiemi è
| $A \cap U\cap X =\{x \mid x\in A$ ed $x\in U$ ed $x\in X\}$ | (20) |
Ciascun elemento di questo insieme deve quindi possedere simultaneamente tre proprietà: è elemento di A (cioè è maggiore di 1 e minore di 8), è dispari e la somma delle sue cifre è 3 oppure 7. Ciò si verifica solo per i numeri 3 e 7 , dunque:
| $A \cap U\cap X =\{ 3, 7\}$ | (21) |
A volte può essere necessario riunire gli elementi di due (o più) insiemi in un nuovo insieme più ampio. Questo insieme si chiama insieme unione (anche unione) e si indica con il simbolo $\cup$. Formiamo ad esempio l'unione dei due insiemi A e C. La definizione formale è:
| $A \cup C = \{x\mid x \in A$ oppure $x\in C\}$ | (22) |
Quali numeri appartengono all'insieme A oppure all'insieme C? Guardando le definizione dei due insiemi vediamo che
| $A \cup C=\{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ | (23) |
un esempio per l'unione di tre insiemi è
| $A \cup C \cup U =\{x\mid x \in A$ oppure $x\in C$ oppure $x\in U\}$ | (24) |
Questo insieme consiste di tutti i numeri che appartengono ad almeno uno dei tre insiemi A, C oppure U. Esso possiede un numero infinito di elementi: i numeri dispari e inoltre i numeri pari 2, 4, 6, e 8.
Diagrammi di Venn
Talvolta si usa una rappresentazione grafica per gli insiemi che può essere utile per visualizzare alcune proprietà. Tale rappresentazione è conosciuta come diagrammi di Venn e consiste nel rappresentare un insieme come una regione di spazio, con la convenzione che regioni che si sovrappongono coincidono con insiemi che si intersecano.
Nell'immagine seguente sono rappresentati due insiemi F (in rosa) e G (in azzurro), la loro intersezione e la loro unione.
L' insieme differenza
A volte si vogliono escludere degli elementi da un insieme. Consideriamo gli insiemi A e B. Ricordiamo che per questi insiemi vale la relazione $B \subseteq A$. Tutti gli elementi di B sono anche elementi di A. Se togliamo questi elementi dall'insieme A otteniamo l'insieme:
| $A \setminus B =\{ x \in A\mid x$ non è elemento di $B\} = \{x \in A\mid x \notin B \}$ | (25) |
Si chiama insieme differenza (anche insieme complementare di B rispetto ad A). Guardando le definizioni degli insiemi A e B vediamo che:
| $A \setminus B=\{ 3, 5, 7 \}$ | (26) |
Come ulteriore esempio osserviamo che $\mathbb{N} \setminus U$ è l'insieme dei numeri naturali pari (perchè abbiamo tolto i numeri dispari - gli elementi di U -dall'insieme $\mathbb{N}$).
Operazioni su insiemi
Cliccando sui bottoni si evidenzia l'insieme corrispondente nel diagramma di Venn. L'insieme U è l'insieme universo, rappresentato da tutta l'area del rettangolo.
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Complicazioni inaspettate
Il concetto di insieme come "collezione di oggetti ben definiti" è convincente e inizialmente non sembra essere problematico. Può sorprendere quindi il fatto che in questo contesto sorgano problemi fondamentali.
Se un insieme è una "collezione di oggetti ben definiti", esso stesso è un oggetto ben definito. Possiamo quindi formare la collezione di tutti questi oggetti, cioè l'insieme di tutti gli insiemi? La risposta è no! L'insieme di tutti gli insiemi è un concetto contraddittorio e quindi privo di senso.
L'approccio agli insiemi presentato in questo capitolo si chiama oggi "teoria elementare degli insiemi" ed è stato sviluppato nella seconda metà dell'ottocento (soprattutto da Georg Cantor).
Come abbiamo appena visto, questo approccio può condurre ad alcune contraddizioni (antinomie). Tale scoperta all'inizio del novecento ha portato (a partire dall'opera di Ernst Zermelo) a un ripensamento dei fondamenti della matematica. Con la "teoria assiomatica degli insiemi" si cerca di dedurre formalmente le regole per l'uso degli insiemi da un numero possibilmente piccolo di ipotesi di base (assiomi), in maniera tale che non possano comparire oggetti come "l'insieme di tutti gli insiemi". Il sistema di assiomi di base però non è univoco, per cui in realtà si dovrebbe parlare di tante possibili "matematiche". Le conseguenze ulteriori di questa situazione (soprattutto la scoperta da parte di Kurt Gödel del fatto che ciascuna di queste "matematiche" è incompleta in un senso fondamentale) hanno messo considerevolmente in crisi l'idea dell'universalità della matematica.
Da un punto di vista pratico possiamo però continuare a lavorare con la teoria elementare degli insiemi, evitando costruzioni problematiche come "l'insieme di tutti gli insiemi" (oppure insiemi che contengono se stessi come elemento).
L'insieme di tutti gli insiemi.
Rassegna dei simboli
| $\in$ | è elemento di |
| $\mid$ | per i quali vale |
| $\cap$ | intersezione |
| $\cup$ | unione |
| $\subseteq$ | è sottoinsieme di |
| $\supseteq$ | include |
| $\setminus$ | insieme differenza |