Geometria Analitica

Descrizione

La geometria analitica, chiamata anche geometria cartesiana, è lo studio delle figure geometriche attraverso un sistema di coordinate. Iniziamo dalla geometria piana, cioè quella che possiamo disegnare su un foglio di carta. Fissiamo due rette, che chiamiamo assi, che si incrociano in un punto, chiamato origine. Di solito i due assi si scelgono perpendicolari tra di loro e si individua un asse orizzontale (ascisse) e un asse verticale (ordinate). Mettiamo dei numeri sull'asse delle ascisse considerando l'origine come 0 e ponendo alla destra i numeri positivi e alla sinistra i numeri negativi. Analogamente sull'asse delle ordinate poniamo in alto i numeri positivi a in basso quelli negativi, nel seguente modo:

L'asse delle ascisse di solito è indicato con la lettera x, mentre quello delle ordinate è indicato dalla y.
Ogni punto del piano è determinato dalle sue coordinate su due piani: ascisse (x) e ordinate (y), che determinano un punto (x,y). Gli enti geometrici come rette, curve, poligoni sono definiti tramite equazioni, disequazioni o insiemi di queste, detti sistemi. Nell'immagine sono disegnati i punti (2,3), (-3,1), (0,0), (-1.5, -2.5). Il punto (0,0) è l'origine degli assi.

Rette

Proviamo adesso a rappresentare sul piano tutti i punti (x,y) tali che y=0, cioè tutti i punti del tipo (x,0) dove x è un numero qualsiasi. Questi punti si trovano sull'asse delle ascisse, anzi l'asse delle ascisse coincide proprio con l'insieme di questi punti! Analogamente l'asse delle ordinate coincide con l'insieme {(0,y) | y qualsiasi}.
Consideriamo adesso l'insieme dei punti della forma (x,2x), cioè i punti (1,2), (2,4), (3,6), (-1,-2), (-1.5, -3), ecc. (sono infiniti). Proviamo a disegnare alcuni di questi punti sul piano cartesiano: ci accorgiamo che sono tutti allineati, cioè c'è una retta che li unisce tutti: Possiamo quindi dire che i punti (x,y) tali che y=2x formano una retta. Riguardando la lezione sul grafico di funzioni, stiamo dicendo che la retta è il grafico della funzione y=2x.
In genere possiamo dire quando un insieme di punti forma una retta guardando la relazione che c'è tra le coordinate: tutti i punti (x,y) tali che
y = m x + n
dove m e n sono numeri qualsiasi, formano una retta. L'espressione appena scritta si chiama equazione esplicita della retta, e in questa espressione m è chiamato coefficiente angolare e n è chiamato termine noto. Una retta può anche essere espressa tramite una equazione implicita che ha la forma
ax+by+c=0
con a,b e c numeri qualsiasi.

Esempio

Consideriamo l'espressione
y=2x+3
e cerchiamo di disegnare la retta rappresentata. Dobbiamo disegnare qualche punto della retta, che ci permetterà di approssimare un disegno della retta stessa (ricorda che bastano due punti per disegnare una retta, ma se si disegna a mano è meglio partire da tre punti!). Dobbiamo cioè disegnare dei punti di coordinate (x,y) tali che x e y soddisfano la relazione y=2x+3. Per esempio, se x=0 deve essere y=3, quindi la retta passerà per il punto (0,3). Analogamente, se x=1 allora y=5, quindi la retta passa per (1,5). E ancora, per x=-1 è y=1, quindi la retta passa per (-1,1). Possiamo quindi disegnare la seguente retta:

Nota

Quando si ha l'equazione di una retta possiamo calcolare le intersezioni con l'asse delle x e l'asse delle y. Infatti un punto si trova nell'intersezione con l'asse delle x se la sua ordinata (cioè la y, cioè la seconda componente) è uguale a zero. Analogamente, un punto è sull'asse delle y se la sua ascissa è uguale a 0. Quindi se devo trovare in quale punto la retta di equazione y=2x+3 interseca l'asse delle y, devo vedere quale è il valore della y corrispondente a x=0: la retta interseca l'asse delle ordinate nel punto (0,3). D'altro lato, la retta interseca l'asse delle ascisse per y=0, quindi per 2x+3=0 e quindi per x=-3/2: nel punto (-3/2,0).

Coefficiente angolare

Il coefficiente angolare $m$ di una retta nella sua rappresentazione esplicita $$ y=mx+n $$ rappresenta l'inclinazione della retta rispetto all'asse delle x. Quindi si ha il seguente risultato
Due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.
Due rette $y=mx+n$ e $y=m_1x+n_1$ sono perpendicolari se e solo se $m_1=-1/m$.

Esempio Le rette $y=2x+1$ e $y=2x-25$ sono parallele, mentre $y=2x+1$ e $y=-\frac{1}{2} x + 1$ sono perpendicolari.

Retta passante per due punti

Vediamo adesso una regola che permette di scrivere l'equazione di una retta che passa per due punti dati. Se $(x_0,y_0)$ e $(x_1,y_1)$ sono due punti, l'equazione della retta passante per questi punti è: $$ \frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}. $$ Facciamo un esempio: consideriamo due punti (2,1) e (3,0). Allora abbiamo $x_0=2$, $y_0=1$, $x_1=3$ e $y_1=0$. L'equazione della retta è: $$ \frac{y-1}{0-1}=\frac{x-2}{3-2} $$ cioè $ 1-y=x-2 $ cioè $ x+y-3=0. $

Geometria nello spazio

Per rappresentare un punto nello spazio dobbiamo considerare un terzo asse e quindi una terza coordinata per ogni punto:

L'insieme dei punti (x,y,z) tali che $$ ax+by+cz+d=0 $$ (con a, b, c e d numeri qualsiasi) forma un piano nello spazio. Una retta si potrà invece scrivere come intersezione di due spazi, cioè come insieme di quei punti $(x,y,z)$ che soddisfano due equazioni del tipo $$ \left\{\begin{array}{cc} ax+by+cz+d&=&0\\ a_1x+b_1y+c_1z+d_1&=&0 \end{array} \right. $$