TRIGONOMETRIA
Seno e Coseno
Iniziamo con una domanda innocente: dato un bastone di lunghezza 1 inclinato di un angolo $\alpha$ rispetto al piano orizzontale, quanto è lunga la sua ombra quando il sole lo illumina verticalmente? Si consideri il disegno qui sotto: il segmento rosso rappresenta il bastone, la freccia rappresenta la luce che cade dall'alto. L'angolo $\alpha$ può essere scelto arbitrariamente (nell'esempio abbiamo $\alpha=51^{\circ}$). Si cerca la lunghezza del segmento verde.
A questo punto si ha una sorpresa che pone lo studente in una situazione completamente nuova. Il problema non è solubile con le operazioni di calcolo che abbiamo visto fino ad ora! Solo in casi eccezionali la lunghezza dell'ombra può essere espressa con numeri già noti (ad esempio per $\alpha=60^{\circ}$ la lunghezza è $\frac{1}{2}$, per $\alpha=45^{\circ}$ è $2^{-\frac{1}{2}}$ ), mentre se prendiamo $\alpha=51^\circ$ otteniamo un numero (reale) che non si esprime in questo modo nè in modo simile.
Pur non sapendo come calcolare la lunghezza dell'ombra per $\alpha=51^\circ$ (a titolo di esempio), è chiaro che questa è univocamente determinata dalla domanda posta sopra. Per ottenere una prima approssimazione, possiamo fare un disegno (possibilmente) preciso sullo stile di quello riportato più sopra e misurare la lunghezza del segmento verde. Troveremo un valore di circa 0.63. Un procedimento di questo tipo è però insoddisfacente dal punto di vista matematico. Quello che in ogni caso possiamo fare intanto è dare un nome al risultato esatto: lo chiamiamo coseno.
La lunghezza del segmento verde si esprime con $\cos \alpha$ oppure $cos(\alpha)$ e si legge "Coseno alpha" oppure "Coseno di alpha". Poichè l'ombra è la lunghezza dell'immagine che il sole "proietta" sulla terra, possiamo anche dire: $\cos\alpha$ è la lunghezza della proiezione di un segmento che - come nel disegno qui sopra - è inclinato di angolo $ \alpha$ e ha lunghezza 1. Se $\\alpha=51^\circ$, come nel nostro esempio, scriveremo $\cos(51^\circ)$. Il simbolo $\mathrm\cos(51^\circ)$ rappresenta quindi un numero reale (circa uguale a 0.63), $\mathrm\cos(60^\circ)$ rappresenta un altro numero reale (e cioè $\frac{1}{2}$), ecc.
Analogamente possiamo illuminare il bastone con un raggio di luce in direzione orizzontale e chiederci quanto sarà lunga la sua ombra proiettata su una parete verticale. Anche questa lunghezza in generale non può essere espressa con uno dei metodi di calcolo a noi già noti. La chiameremo Seno.
La lunghezza del segmento blu nel disegno qui sopra si esprime con $\sin\alpha$ oppure $\sin(\alpha)$ e si legge
"Sen alpha" oppure "Seno di alpha". Anche questa volta si tratta di una proiezione, adesso però ad opera di un raggio di luce
orizzontale. Possiamo anche interpretare $\sin\alpha$ come la lunghezza apparente del bastone rosso sullo sfondo visto da una grande
distanza. Se ad esempio abbiamo $\alpha=51^\circ$, scriviamo $\sin(51^\circ)$.
Seno e Coseno (e altre grandezze che ricaveremo più sotto) si chiamano funzioni trigonometriche.
Il nome "funzione" deriva dal fatto, che a ciascun angolo $\alpha$ possiamo assegnare i due numeri $\sin\alpha$ e $\cos\alpha$. Da un
punto di vista matematico non c'è niente di eccezionale. Quando assegniamo a un numero $x$ il suo quadrato scrivendo $f(x)=x^2$
non facciamo niente di diverso. La differenza rispetto a formare il quadrato consiste soltanto nel fatto che il calcolo numerico di
$\sin\alpha$ e $\cos\alpha$ per un angolo dato $\alpha$ è più complicato. Per fortuna possiamo delegare questo compito a
strumenti come il computer o il calcolatore tascabile. Anche questi strumenti per la maggioranza degli angoli ci forniscono solo dei
valori approssimati che però, come nel caso dell'estrazione di radice, sono sufficientemente precisi per quanto riguarda le
applicazioni pratiche.
Vi preghiamo quindi di accettare il fatto che in questo capitolo non troverete spiegazioni su come i calcolatori effettuano queste operazioni. Ciò però non impedisce di usare questi strumenti:
Calcolatore Seno e Coseno (con due cifre decimali)
|
Seno e Coseno, così come tutte le altre funzioni trigonometriche che imparerete a conoscere in questo capitolo, hanno un ruolo essenziale in matematica e in molte applicazioni. Fondamentalmente la loro importanza deriva dal fatto che nascono da problemi geometrici semplici e molto generali (nel senso che si presentano frequentemente). Che il calcolo numerico sia complicato e venga quindi delegato al computer o al calcolatore tascabile non dovrebbe distogliere dalla loro sostanziale semplicità.
Seno e Coseno in un triangolo rettangolo
In linea di massima, adesso sappiamo che cosa sono il Seno e il Coseno di un angolo e vogliamo vedere come li possiamo utilizzare. In ognuno dei disegni del paragrafo precedente troviamo un triangolo rettangolo: l'abbiamo riportato nel disegno qui sotto. Inoltre abbiamo ruotato leggermente il tutto, visto che la posizione del triangolo nel piano non ha nessuna importanza.
Con l'aiuto di questo disegno possiamo caratterizzare le due funzioni trigonometriche in maniera diversa:
In un triangolo rettangolo la cui ipotenusa ha lunghezza 1, sia $\alpha$ uno dei due angoli acuti. Allora abbiamo che
- $\sin\,\alpha$ è la lunghezza del cateto opposto all'angolo $\alpha$
- $\cos\,\alpha$ è la lunghezza del cateto adiacente all'angolo $\alpha$.
Adesso consideriamo un triangolo rettangolo con lo stesso angolo $\alpha$, ma con un' ipotenusa di lunghezza non necessariamente
uguale a 1. Lo otteniamo "dilatando" o "riducendo" il nostro triangolo originale in maniera tale da mantenere gli angoli. Si dice
che il triangolo originale e quello riportato qui sono simili. In entrambi i triangoli, il cateto opposto all'angolo $\alpha$
(blu) è più corto rispetto all'ipotenusa di un fattore $\sin\,\alpha$, e in entrambi i triangoli, il cateto adiacente
all'angolo (verde) è più corto rispetto all'ipotenusa di un fattore $\cos\,\alpha$. In questo senso $\sin\,\alpha$ e
$\cos\,\alpha$ possono essere interpretati come fattori di riduzione. Ciò può essere dimostrato formalmente
grazie al teorema di Talete. Vediamo quindi che in ogni triangolo rettangolo vale:
| $$\sin\,\alpha=\frac{cateto\,opposto}{ipotenusa}$$ | (1) |
| $$\cos\,\alpha=\frac{cateto\,opposto}{ipotenusa}$$ | (2) |
In molti libri Seno e Coseno vengono introdotti attraverso le proprietà (1) e (2).
Vogliamo illustrare come si utilizzano queste proprietà nei calcoli. Consideriamo il seguente problema geodetico: come raffigurato nel disegno sopra, la distanza diretta fra un punto di osservazione e la vetta di un monte misura 3.7 km. La vetta appare dal punto di osservazione sotto un angolo di $19.5^\circ$. Quanto à alta la montagna?
Soluzione: Avete trovato il triangolo rettangolo nel disegno? Usiamo la relazione (1):
| $$\sin(19.5^\circ)=\frac{h}{3.7\ km}$$ |
Quindi $h=\sin(19.5^\circ)\cdot 3.7$ km. Utilizzando il nostro calcolatore otteniamo $\sin(19.5^\circ)=0.3338$, e quindi $h=0.3338 \cdot 3.7$ km=1.24 km, arrotondando il risultato ragionevolmente.
Seno e Coseno per qualsiasi angolo
Le nostre definizioni di Seno e Coseno in realtà non sono ancora complete.
Ricordiamoci: abbiamo introdotto Seno e Coseno come lunghezze dell'ombra di un bastone inclinato di lunghezza 1, rispettivamente
sotto un raggio di luce verticale ($\cos\,\alpha$) e un raggio di luce orizzontale ($\sin\,\alpha$). Lo raffiguriamo nel disegno
qui sotto, piazzando un estremo del bastone (rosso) nell'origine di un sistema di coordinate cartesiane e riportando
"le ombre" (o meglio proiezioni) lungo gli assi cartesiani. L'angolo $\alpha$ si misura relativamente all'asse orizzontale
(delle ascisse) in senso antiorario.
Vediamo che si può aumentare l'angolo $\alpha$ ruotando il bastone rosso come una lancetta di orologio (ma in senso antiorario).
La punta della lancetta descrive un cerchio (di raggio 1) detto "circonferenza goniometrica".
Possiamo ruotare la lancetta, cioè il raggio rosso della circonferenza goniometrica, anche oltre la linea verticale. In tal caso
la posizione del raggio è descritta, come nella figura, da un angolo ottuso. Anche in questo caso possiamo,
come sopra, riportare le proiezioni sugli assi cartesiani e definire così Seno e Coseno per un angolo ottuso. Qui adotteremo
la seguente convenzione: un segmento orientato verso sinistra oppure verso il bassorispetto all'origine sarà considerato
negativo.
L'angolo rappresentato nell'esempio qui sotto è $131^\circ$. La lunghezza del segmento verde è circa 0.656. Il Coseno
di questo angolo è quindi circa $ -\,0.656$, perciò negativo! Provate voi stessi con l'aiuto del nostro
calcolatore!
$\sin(131^\circ)$ invece è positivo (circa 0.755), poichè il segmento blu è orientato verso l'alto rispetto
all'origine.
Se continuiamo a ruotare il raggio rosso, possiamo rappresentare qualsiasi angolo fra $0^\circ$ e $360^\circ$, e in tutti questi casi
il nostro procedimento ci fornirà un valore univocamente determinato per il Seno e per il Coseno indicandoci anche il loro segno.
Il segno di Seno e Coseno dipende dal quadrante in cui si trova il raggio che rappresenta l'angolo $\alpha$ (i quadranti dividono il
piano cartesiano in quattro parti delimitate dagli assi che vengono numerate in senso antiorario da 1: " in alto a destra", 2:
"in alto a sinistra" e 3: "in basso a sinistra" fino a 4: "in basso a destra").
Possiamo anche continuare a ruotare il raggio, ma non otterremo niente di nuovo: un angolo di $370^\circ$ non è diverso da $10^\circ$ - per cui anche le funzioni trigonometriche coincidono, ad es. $\sin(370^\circ)=\sin(10^\circ)$. Anche ruotando il raggio in senso inverso e riducendo $\alpha$ fino a raggiungere i numeri negativi non troveremo niente di nuovo: un angolo di $-\,10^\circ$ non è diverso da $350^\circ$, per cui anche le funzioni trigonometriche coincidono, ad es. $\sin(-10^\circ)=\sin(350^\circ)$. Il nostro calcolatore ve lo confermerà!
Come mai vogliamo definire Seno e Coseno per qualsiasi angolo, e perchè lo facciamo così? Soprattutto per scopi pratici. Angoli fra $90^\circ$ e $180^\circ$ (cosiddetti ottusi, mentre quelli fra $0^\circ$ e $90^\circ$ sono detti acuti) sono presenti in molte applicazioni. Se il raggio rosso è orientato verso destra e inclinato di $1^\circ$ verso il basso, è molto più semplice indicare l'angolo con $-\,1^\circ$ piuttosto che con $359^\circ$. Questa convenzione però ha anche delle conseguenze teoriche. Ad esempio la somma di due angoli è un angolo. Se $\alpha$ e $\beta$ sono due angoli (cioè descrivono due posizioni del nostro raggio), anche $\alpha+\beta$ sarà un angolo, poichè abbiamo ammesso qualsiasi valore. Basterà ricordare che consideriamo identici gli angoli che differiscono di $360^\circ$ (o di un multiplo di $360^\circ$).
Come vedremo nel prossimo paragrafo, con l'ausilio della circonferenza goniometrica possiamo dimostrare una serie di proprietà basilari delle funzioni trigonometriche. La circonferenza goniometrica è uno strumento importante per la comprensione di Seno e Coseno.
Una delle proprietà che si ricavano dalla circonferenza goniometrica riguarda il codominio di Seno e Coseno: i valori di queste funzioni non possono mai essere minori di $-1$ o maggiori di 1. Questo si deduce immediatamente dal fatto che le proiezioni del nostro raggio (di lunghezza 1) sugli assi non possono essere più lunghe del raggio stesso. Concludiamo quindi che per qualsiasi angolo $\alpha$ si ha
| $$-1 \le \sin \alpha \le 1$$ $$-1 \le \cos \alpha \le 1$$ | (3) |
Proprietà di seno e coseno
Le funzioni Seno e Coseno sono fra le più importanti funzioni matematiche. Possiedono varie proprietà che vengono utilizzate sia nelle applicazioni sia nella matematica pura. Parleremo adesso di alcune di queste proprietà.
Il teorema di Pitagora
Forse vi stupirete di ritrovarlo qui. Consideriamo - come all'inizio di questo capitolo - un triangolo rettangolo, la cui ipotenusa ha lunghezza 1. Qui sotto abbiamo riportato una delle figure usate più sopra. (Tali triangoli si trovano anche all'interno della circonferenza goniometrica del paragrafo precedente).
Il Teorema di Pitagora ci dice che in un triangolo rettangolo la somma
dei quadrati (delle lunghezze) dei due cateti coincide con il quadrato (della lunghezza) dell'ipotenusa. Applicandolo al triangolo
qui sotto, otteniamo per qualsiasi angolo a l'identità
| $$\sin^2 a+\cos^2 a=1$$ | (4) |
Qui $\sin^2\,a$ è un'abbreviazione per $(\sin\,a)^2$, in parole: "Seno quadrato di a". Questa formula non è altro che una maniera - forse inizialmente poco usuale - di esprimere il Teorema di Pitagora. Ci fornisce una semplice relazione fra Seno e Coseno. Se ad esempio - per un certo angolo $\alpha$ - conosciamo $\sin \alpha$, possiamo dedurre
| $$\cos \alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2 \alpha}$$ | (5) |
dove il segno dipende dal quadrante in cui si trova il raggio che rappresenta l'angolo $\alpha$ nella circonferenza goniometrica (nel primo e nel quarto quadrante +, altrimenti -).
Periodicità e (Anti)-simmetria
La circonferenza goniometrica ci mostra che Seno e Coseno sono funzioni periodiche: quando a un angolo $\alpha$ sommiamo
$360^\circ$, il raggio ritorna nella stessa posizione di a. Quindi abbiamo
| $\sin(\alpha+360^\circ)=\sin \alpha$ $\cos(\alpha+360^\circ)=\cos \alpha$ | (6) |
Possiamo dire: il periodo di entrambi le funzioni è $360^\circ$. Inoltre abbiamo:
| $\sin(-\alpha)= -\sin \alpha$ $\cos(-\alpha)=\cos \alpha$ | (7) |
per cui Seno è una funzione antisimmetrica, mentre Coseno è una funzione simmetrica.
Periodicità e (Anti)-simmetria
Identità con angoli supplementari e complementari
Possiamo anche dedurre identità che riguardano gli angoli la cui somma è pari a $90^\circ$ (angoli complementari) oppure
a $180^\circ$ (angoli supplementari) e anche gli angoli, la cui differenza è pari a $90^\circ$ oppure $180^\circ$:
| $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos \alpha$ | $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin \alpha$ | (8) |
| $\sin(\alpha+90^\circ)=\cos \alpha$ | $\cos(\alpha+90^\circ)=-\sin \alpha$ | (9) |
| $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin \alpha$ | $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos \alpha$ | (10) |
| $\sin(\alpha+180^\circ)=-\sin \alpha$ | $\sin(\alpha+180^\circ)=-\cos \alpha$ | (11) |
I valori di Seno e Coseno per angoli arbitrari possono quindi essere dedotti dai valori per gli angoli compresi fra $0^\circ$ e $90^\circ$.
Angoli doppi
Se conosciamo il valore delle nostre funzioni trigonometriche per un angolo $\alpha$, possiamo dedurre il valore per l' angolo doppio da
| $$\sin(2\alpha)=2\sin\,\alpha\,\cos \alpha$$ | (12) |
| $$\cos(2\alpha)=\cos^2\,\alpha-\sin^2\,\alpha$$ | (13) |
Teoremi di Addizione per Seno e Coseno
Oltre alle relazioni fra Seno e Coseno discusse sopra, esistono altre identità che riguardanodue angoli arbitrari. Sono note
come formule per l'addizione o teoremi di addizione. Ve le presentiamo senza dimostrazione (la dimostrazione più elegante usa
i numeri complessi). Per due angoli arbitrari $\alpha$ e $\beta$ si ha sempre
| $$\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta$$ | (14) |
| $$\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$$ | (15) |
Se poniamo $\beta=\alpha$, otteniamo (12) e (13).
Altre proprietà di seno e coseno .
Tangente e cotangente
Oltre a Seno e Coseno si usano anche altre funzioni da loro derivate. In particolare i quozienti di Seno e Coseno hanno un nome
proprio: Tangente e Cotangente. Ecco la definizione:
| $$\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ | (16) |
| $$\cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1}{\tan \alpha}$$ | (17) |
Si noti che queste due espressioni sono reciproche e quindi strettamente legate: il loro prodotto è 1. (Su alcuni calcolatori tascabili manca il tasto per Cotangente, che può essere calcolata come 1/Tangente). A volte invece di tan e cot si usano le abbreviazioni tg e ctg. Ecco un piccolo calcolatore per queste due funzioni trigonometriche:
Calcolatore Tangente e Cotangente
A differenza di Seno e Coseno, per certi angoli Tangente e Cotangente non sono definite: si provi ad esempio a calcolare $\tan(90^{\circ})$ oppure $\cot(0^{\circ})$. Il nostro calcolatore ci da "Infinity", avvertendoci che è stata tentata una divisione per zero. Dalle definizioni (16) e (17) infatti deduciamo:
- Se $\cos \alpha=0$ (cosa che si verifica quando $\alpha=90^\circ$ oppure $270^\circ$, dove l'ultimo caso è equivalente a $-90$), il denominatore in (16) diventa zero. In questi casi dunque $\tan \alpha$ non è definita, mentre $\cot \alpha=0$.
- Se $\sin\alpha=0$ (cosa che si verifica quando $\alpha=0^\circ$ oppure $\pm 180^\circ$), il denominatore in (17) diventa zero. In questi casi dunque $\cot \alpha$ non è definita, mentre $\tan \alpha =0$.
In tutti gli altri casi il nostro calcolatore ci fornisce dei numeri concreti.
Tangente e Cotangente in un triangolo rettangolo
Anche Tangente e Cotangente possono essere interpretate come rapporti fra i lati in un triangolo rettangolo. Per le definizioni (16)
e (17) deduciamo da (1) e (2)
| $$\tan \alpha=\frac{cateto\, opposto}{cateto\, adiacente}$$ | (18) |
| $$\cot \alpha=\frac{cateto\, adiacente}{cateto\, opposto}$$ | (19) |
Come esempio applicativo consideriamo il seguente problema geodetico: la vetta di un monte alto 1.24 km viene osservata sotto un angolo di $19.5^\circ$. A che distanza si trova l'osservatore dalla proiezione sul piano della vetta del monte?
Soluzione: avete trovato il triangolo rettangolo nel disegno? Usiamo la relazione (18): $$\tan(19.5^\circ)=\frac{1.24 km}{d}$$
Quindi $d=\frac{1.24 km}{\tan(19.5^\circ)}$. Usando il calcolatore Tangente e Cotangente otteniamo $\tan(19.5^\circ)=0.3541$, dunque $d=\frac{1.24 km}{0.3541}=3.502$ km (dove per scopi pratici in genere sarà sufficiente il valore approssimato $d=3.50$ km).
Tangente e coefficiente angolare
La Tangente ha un ruolo molto particolare poichè esprime la relazione fra il coefficiente angolare e l'angolo di pendenza di una retta. Per determinare il coefficiente angolare di una retta, si raffigura, come nell'immagine qui sotto, il suo "triangolo di pendenza".
Il quoziente $ k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ si chiama coefficiente angolare - ed ha il medesimo valore in ciascun triangolo
di pendenza, indipendentemente dalla sua grandezza. La Definizione (18) ci dice che il coefficiente angolare è uguale alla
tangente dell'angolo di pendenza che l'asse delle ascisse forma con la retta stessa:
| $$k=\tan \alpha$$ | (20) |
Se ad esempio l'angolo di pendenza di una strada misura $12^\circ$, il coefficiente angolare è $\tan(12^\circ)$, che è circa pari a 0.21. Sul cartello stradale che indica la pendenza della strada troveremo scritto "21%" (che possiamo leggere come "21 metri di dislivello per 100 metri di distanza percorsi secondo la carta stradale"). Per una retta perpendicolare non ha senso parlare di coefficiente angolare, e ciò corrisponde al fatto che $\tan(90^\circ)$ e $\tan(-90^\circ)$ non sono definite.
Proprietà tangente e cotangente
Le relazioni elencate sopra per Seno e Coseno implicano una serie di proprietà utili per Tangente e Cotangente. Come per Seno e Coseno possiamo utilizzare la circonferenza goniometrica, come raffigurata qui sotto
L'angolo $\alpha$ è individuato dal raggio (rosso). La Tangente di questo angolo corrisponde alla lunghezza del segmento riportato
sulla retta azzurra $g$. Per la relazione (20) essa è pari alla pendenza del raggio, che nel disegno è stato prolungato
con una linea tratteggiata fino a intersecare la retta $g$. Anche per un angolo ottuso oppure negativo possiamo individuare la tangente
sulla stessa retta $g$. Con questo metodo possiamo anche determinare facilmente il segno per un tale angolo. Nei casi
$\alpha=90^\circ$ e $\alpha=-90^\circ$ il raggio è parallelo alla retta $g$. Questa è la spiegazione geometrica del fatto
che la tangente non è definita per questi angoli. Per la Cotangente valgono proprietà analoghe, scambiando i ruoli degli
assi cartesiani.
Esercizio: si riportino Seno, Coseno e Tangente in un'unica circonferenza goniometrica. Si usi questo diagramma per dimostrare
che il segmento sulla retta $g$ è la grandezza definita in (16). (Si notino i due triangoli simili).
Angoli speciali
Per certi angoli i valori delle funzioni trigonometriche possono essere espressi con le operazioni di calcolo usuali, in particolare
con radici quadrate. Riportiamo nella seguente tabella alcuni di questi angoli con i rispettivi valori:
| $\alpha$ | $\sin \alpha$ | $\cos \alpha$ | $\tan \alpha$ | $\cot \alpha$ |
| $0^\circ$ | 0 | 1 | 0 | $\pm\infty$ |
| $30^\circ$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | $\frac{1}{3}\sqrt{3}$ | $\sqrt{3}$ |
| $45^\circ$ | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | 1 | 1 |
| $60^\circ$ | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ | $\frac{1}{3}\sqrt{3}$ |
| $90^\circ$ | 1 | 0 | $\pm\infty$ | 0 |
| $180^\circ$ | 0 | -1 | 0 | $\pm\infty$ |
| $270^\circ$ | -1 | 0 | $\pm\infty$ | 0 |
In tutte le frazioni che contengono radici quadrate abbiamo reso razionale il denominatore. Il simbolo $\pm\infty$ sta a indicare che il valore corrispondente non è definito.
Radianti
Ci sono varie misure angolari, cioè sistemi per misurare un angolo. Il metodo che probabilmente vi è più usuale è il sistema sessagesimale, che si basa sulla divisione dell'angolo giro in 360 "gradi angolari". Il numero 360 per l'angolo giro è scelto per motivi storici, ma dal punto di vista matematico non è molto vantaggioso. Per molti scopi è molto più utile passare a un altro sistema, la misura in radianti. Qui la grandezza di un angolo si misura come lunghezza dell'arco corrispondente su una circonferenza di raggio 1. Ciò è rappresentato nella figura qui sotto: invece di misurare l'angolo $\alpha$ in gradi, si usa la lunghezza dell'arco azzurro come misura per la sua grandezza. L'angolo giro in radianti è dato dalla circonferenza del cerchio di raggio 1, cioè da $2\pi$.
Esempio: Un angolo di $60^\circ$ (cioè un sesto dell'angolo giro) in radianti è pari a $\frac{\pi}{3}$, cioè
circa 1.0472. Vediamo subito gli svantaggi della misura in radianti: angoli "rotondi" come $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$,
$90^\circ$, $180^\circ$ e $360^\circ$ vengono rappresentati da numeri irrazionali. Nella migliore delle ipotesi sono dati da multipli
razionali di $\pi$ (come $\frac{\pi}{3}$ per $60^\circ$).
Quando un angolo è dato in radianti generalmente non si indica "l'unità di misura" (cioè non si mette un simbolo
come $ ^\circ$). A volte si usa l'abbreviazione rad (ad esempio $60^\circ$ è $\frac{\pi}{3} rad$, quindi circa $1.0472\ rad$), ma questo non
è necessario.
La trasformazione da gradi in radianti e viceversa è molto semplice: se $\alpha$ è un angolo dato in gradi, il suo valore
in radianti è $2\pi\cdot x\frac{\alpha}{360^\circ}$. Viceversa un valore in radianti va moltiplicato per
$\frac{360^\circ}{(2\pi)}$ per ottenere l'angolo in gradi.
La misura in radianti di un angolo può essere anche individuata con un cerchio di raggio arbitrario $r$. Se, come nel disegno
qui sotto, l'arco ha lunghezza $s$, allora l'angolo $\alpha$ in radianti è dato dal quoziente $\frac{s}{r}$. Per il cerchio
di raggio 1 $(r=1)$ritroviamo la nostra definizione. Questa proprietà deriva dal fatto che tutti gli "spicchi di torta" con
lo stesso angolo $\alpha$ sono simili fra loro. Differiscono soltanto per la loro grandezza, ma il rapporto fra le lunghezze
$\frac{s}{r}$ è costante per tutte queste figure, e può essere quindi usato come misura dell'angolo.
Torniamo adesso alle funzioni trigonometriche. Alcune delle formule che abbiamo visto si riferivano alla misura in gradi e possono
ora essere tradotte in radianti. La periodicità di Seno e Coseno (6) in radianti è data dalla formula
| $\sin(\alpha+2\pi)=\sin \alpha$ $\cos(\alpha+2\pi)=\cos \alpha$ | (6b) |
e le relazioni (8) - (11) si traducono in
| $\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos \alpha$ $\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin \alpha$ | (8b) |
| $\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})=\cos \alpha$ $\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})=-\sin \alpha$ | (9b) |
| $\sin(\pi-\alpha)=\sin \alpha$ $\cos(\pi-\alpha)=-\cos \alpha$ | (10b) |
| $\sin(\alpha+\pi)=-\sin \alpha$ $\cos(\alpha+\pi)=-\cos \alpha$ | (11b) |
Anche le relazioni riguardanti Tangente e Cotangente e la tabella riportata sopra con i valori delle funzioni trigonometriche per alcuni angoli speciali hanno una versione analoga in radianti.
Le funzioni trigonometriche per angoli speciali:
| $\alpha$(rad) | $\alpha$ $(^\circ)$ | $\sin\,\alpha$ | $\cos\,\alpha$ | $\tan\,\alpha$ | $\cot\,\alpha$ |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | $\pm\infty$ |
| $\frac{\pi}{6}$ | 30 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | $\frac{1}{3}\sqrt{3}$ | $\sqrt{3}$ |
| $\frac{\pi}{4}$ | 45 | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | 1 | 1 |
| $\frac{\pi}{3}$ | 60 | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ | $\frac{1}{3}\sqrt{3}$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | 90 | 1 | 0 | $\pm\infty$ | 0 |
| $\pi$ | 180 | 0 | -1 | 0 | $\pm\infty$ |
| $\frac{3\pi}{4}$ | 270 | -1 | 0 | $\pm\infty$ | 0 |