EQUAZIONI

Cos'è un'equazione

Un' equazione in una variabile (incognita) $x$ è una "affermazione" del tipo

membro sinistro = membro destro

(1)

dove membro sinistro e membro destro sono espressioni nella variabile $x$. Qui $x$ sta a indicare un elemento - a priori arbitrario - di un insieme $G$ (insieme di base), che deve essere indicato insieme all'equazione. Quando l'insieme di base non è indicato esplicitamente, si assume che esso sia l'insieme \(\mathbb{R}\) dei numeri reali.

Una soluzione dell'equazione è un elemento $x\in G$ per il quale la "tesi"membro sinistro= membro destro è un enunciato vero. L'insieme di tutte le soluzioni sarà indicato con $L$. Potrà contenere uno o più (addirittura anche un numero infinito di) elementi oppure potrà essere l'insieme vuoto.
Per la variabile (incognita) si usa spesso la lettera $x$, ma si possono usare anche altre lettere.

Esempio 1: $x+2=5$ sull'insieme $G=\mathbb{R}$ dei numeri reali.
Significato: Questa "tesi" diventa un enunciato vero soltanto quando $x$ è un numero reale che sommato a 2 dà 5. C'è un unico numero $x$ con questa proprietà, e cioè 3. È la (unica) soluzione, quindi $L=\{3\}$.

Esempio 2: $n+1=n$ sull'insieme $G=\mathbb{N}$ dei numeri naturali.
Significato: Questa "tesi" diventa un enunciato vero soltanto quando $n$ è un numero naturale che sommato a 1 risulta uguale a se stesso. Ciò non si verifica per nessun numero naturale: la "tesi" non è mai vera. Quindi l'equazione non ha soluzione e $L= \{ \ \}$.

Esempio 3: $x^{2}=4$ sull'insieme $G=\mathbb{R}$.
Significato: Questa "tesi" diventa un enunciato vero soltanto quando $r$ è un numero naturale il cui quadrato è 4. Ciò si verifica per il numero 2, ma anche per il numero -2. L'equazione ha due soluzioni, $r=2$ e $r=-2$ . Quindi $L=\{ -2,2 \}$.

Esempio 4: $2(x+1)=2x+2$ sull'insieme $G=\mathbb{R}$.
Significato: se togliamo le parentesi vediamo che questa "tesi" è sempre un enunciato vero, cioè si verifica per qualsiasi $x\in G$. L'insieme delle soluzioni coincide dunque con l'insieme di base $L=G$. Abbiamo già visto tali enunciati in un capitolo precedente: si chiamano identità . Quindi un'identità è un'equazione che è verificata quali che siano i valori numerici attribuiti alle variabili.

Trasformazioni equivalenti

Alcune equazioni si risolvono facilmente. La tecnica risolutiva principale consiste nel trasformare un'equazione in modo tale da mantenere immutata la "tesi" che essa rappresenta. Tale procedimento si chiama metodo delle trasformazioni equivalenti. Una trasformazione equivalente consiste nel trasformare alla stessa maniera il membro sinistro e il membro destro. Questa trasformazione inoltre deve essere reversibile: deve essere possibile ritornare all'equazione originale con un'ulteriore trasformazione. In tal caso l'equazione originale e quella trasformata contengono la medesima informazione (sono quindi "equivalenti") e l'insieme di soluzioni è il medesimo.

In pratica le trasformazioni equivalenti vengono adoperate per semplificare un'equazione senza modificare l'insieme delle soluzioni. Nel caso di un'equazione lineare è sempre possibile ottenere dopo poche trasformazioni un'equazione che fornisce esplicitamente la soluzione.

Le trasformazioni equivalenti principali sono:

• Sommare la stessa espressione a entrambi i membri di un'equazione. Caso particolare: sommare o sottrarre lo stesso numero a entrambi i membri
• Moltiplicare entrambi i membri con la stessa espressione che dovrà essere sempre diversa da zero. Caso particolare: moltiplicare o dividere entrambi i membri per un numero diverso da zero.

Tutte queste trasformazioni sono reversibili e non modificano l'informazione contenuta nell'equazione.

Spiegazione delle trasformazioni equivalenti.

Attenzione: Elevare al quadrato entrambi i membri di un'equazione non è una trasformazione equivalente!

Esempio: $x=2$ è una semplicissima equazione con soluzione $L=\{ 2 \}$. Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene $x^{2}=4$ per la quale, l'insieme delle soluzioni è $L=\{ 2,-2 \}$. Quindi $x=2$ e $x^{2}=4$ non sono equazioni equivalenti.

Equazioni lineari

Un'equazione lineare nella variabile $x$ è un'equazione del tipo:

$$Ax+B=Cx+D$$

(2)

dove $A,\,B,\,C,\,e\,D$ sono numeri dati (noti). Le equazioni lineari si chiamano anche equazioni di primo grado. Assumeremo sempre che l'insieme di base è l'insieme $\mathbb{R}$ dei numeri reali.

Esempi di equazioni lineari:

$3x+2=x-1$	(qui $A=3,B=2,C=1,D=-1$)
$x+3=x$	(qui $A=1,B=3,C=1,D=0$)
$x-1=0$	(qui $A=1,B=-1,C=0,D=0$)

Situazioni tipiche

A volte possiamo trasformare equazioni apparentemente complicate in equazioni lineari.

Esempio: $(x+1)^2=x^2+5$
Soluzione: Togliere le parentesi al membro sinistro ed eseguire le trasformazioni indicate sotto:

$x^2+2x+1=x^2+5$	moltiplicare per $ -x^2$
$2x+1=5$	sottrarre $ -1$
$2x=4$	dividere per 2
$x=2$

che ci da la soluzione. I monomi $x^{2}$ sono stati eliminati e l'equazione si è rivelata lineare.

L'equazione $x=x+1$ dimostra che l'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare può essere l'insieme vuoto $\emptyset$.

L'equazione $2x+1=2x+1$ (che è verificata per qualsiasi numero) dimostra che un'equazione lineare può avere un numero infinito di soluzioni.

Forma tipica di un'equazione lineare

Ciascuna equazione lineare può essere messa - tramite trasformazioni equivalenti - in forma:

$$ax+b=0$$

(3)

dove a e b sono numeri fissi (noti). Sull'insieme di base $G=\mathbb{R}$ abbiamo lo schema seguente:

• Se $a=0$ e $b=0$, allora $L=\mathbb{R}$ (qualsiasi numero reale è una soluzione).
• Se $a=0$ e $b\ne 0$, allora $L= \{ \}$ (non ammette soluzione).
• Se $a\ne 0$, allora $L=\{-\frac{b}{a} \}$ (ammette l'unica soluzione $x=-\frac{b}{a}$).

Un'equazione lineare sull'insieme $G=\mathbb{R}$ può dunque

• non ammettere soluzione, oppure
• ammettere un'unica soluzione, oppure
• essere risolta da qualsiasi numero reale.

Non esistono altre possibilità!
Da ciò deduciamo inoltre che la soluzione di un'equazione lineare del tipo (3) dove $a$ e $b$ sono numeri interi (e $a\ne 0$), è sempre un numero razionale .

Esempio: $6x+4=0$ ha la soluzione $x=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}$.

Equazioni di secondo grado

Un' equazione di secondo grado (anche detta equazione quadratica) è un'equazione del tipo:

$ax^{2}+bx+c=0$

(4)

oppure un'equazione che può essere ridotta a questa forma. Qui $a,\,b\,e\,c$ sono numeri fissi (noti) e si chiamano coefficienti dell'equazione, e inoltre $a\ne 0$. (altrimenti con $a=0$ avremmo un'equazione lineare). Poichè $a\ne 0$, possiamo dividere entrambi i membri dell'equazione per $a$. Ponendo $\frac{b}{a}=p$ e $\frac{c}{a}=q$ vediamo che un'equazione di secondo grado può sempre essere scritta in forma:

$x^{2}+px+q=0$

(5)

che chiameremo forma tipica di un'equazione di secondo grado. I numeri $p$, $q$ sono i coefficienti, a volte anche detti parametri. In un certo senso possiamo pensare che essi "enumerino" tutte le equazioni di secondo grado, poichè per ogni scelta di valori concreti per questi parametri in (5) otteniamo un'equazione di secondo grado. Come insieme di base $G$ scegliamo l'insieme $\mathbb{R}$ dei numeri reali.

Le equazioni di secondo grado più semplici sono:

• $x^{2}=1$ (ammette due soluzioni reali: $\pm1$)
• $x^{2}=0$ (ammette una soluzione reale: 0)
• $x^{2}=-1$ (non ammette soluzioni reali)

Questi tre esempi caratterizzano ciò che può avvenire anche in casi più generali.

Esercizio: Si mettano le tre equazioni in forma tipica.

$x^{2}-1=0$	cioè $p=0$	e $q=-1$
$x^{2}=0$	cioè $p=0$	e $q=0$
$x^{2}+1=0$	cioè $p=0$	e $q=1$

Formula risolutiva ridotta

Per le soluzioni di un'equazione di secondo grado del tipo (5) possiamo usare la seguente formula:

$$x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p^{2}}{4}-q\right)}$$

(6)

Seguendo questo link si può trovare la dimostrazione.

Il significato è il seguente: a seconda che $ \frac{p^{2}}{4}-q$ (il numero sotto radice) sia negativo, 0 oppure positivo, l'equazione non ammette soluzioni reali, ne ammette una oppure due.

• Se $ \frac{p^{2}}{4}-q< 0$, allora si ha un numero negativo sotto radice. Poichè (nell'ambito dei numeri reali) non si può estrarre la radice da un numero negativo, l'equazione non ammette soluzioni reali, quindi $L=\{ \}$.
• Se $\frac{p^{2}}{4}-q=0$, allora si ha 0 sotto radice, e poichè $\sqrt{0}=0$ l'equazione ammette un'unica soluzione $ x=-\frac{p}{2}$. Quindi $L=\{-\frac{p}{2}\}$. La formula fornisce due numeri identici: $x_1=x_2=-\frac{p}{2}$.
• Se $ \frac{p^{2}}{4}-q>0$, allora si ha un numero positivo sotto radice. In questo caso l'equazione ammette due soluzioni reali $x_{1}$ e $x_{2}$, che sono quelle indicate dalla formula, quindi $L=\{x_1,x_2 \}$ con

$$x_{1}=-\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}$$	(7)
$$x_{2}=-\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}$$	(8)

Il numero $\frac{p^{2}}{4}-q$ decide quindi il numero di soluzioni. Si chiama discriminante.

Riassumiamo: Un'equazione di secondo grado può avere due, una oppure nessuna soluzione. Più avanti ci occuperemo di equazioni di secondo grado sotto un altro punto di vista e vedremo una spiegazione geometrica .

Si ricordi che la radice di un numero reale (non negativo ) per definizione è sempre $\ge0$. (ad esempio $\sqrt{4}$ ha solo un valore, e cioè $2$, mentre $\pm \sqrt{4}$ sta a indicare $\pm 2$, cioè i due valori $-2$ e 2).

Esempio: $x^{2}-5x+6=0$ (cioè $p=-5$ e $q=6$)
La formula ci dà

$$x_{1,2} = \frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}-6}=\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}}$$

(9)

Poichè sotto radice abbiamo un numero positivo (cioè $\frac{1}{4}$), l'equazione ammette due soluzioni reali. La radice di $\frac{1}{4}$ è uguale a $\frac{1}{2}$, e quindi $x_{1,2}=\frac{5}{2}\pm\frac{1}{2}$, ovvero $x_1= \frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2$ e $x_2= \frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3$. Concludiamo che $L= \{2,3\}$.
Esempio: $x^{2}-2 = 0$ (cioè $p=0$ e $q=-2$) Possiamo scriverla come $x^{2}=2$ e ricavare le soluzioni $\pm\sqrt{2}$, qui non serve la formula, comunque essa ci darebbe

$$x_{1,2}=0\pm\sqrt{0+2}=\pm\sqrt{2}$$

(10)

quindi $L=\{-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}\}$

L'ultimo esempio illustra un fatto che risulta anche dalla formula (6), quando i coefficienti $p$, $q$ sono interi, le soluzioni contengono radici di numeri razionali e quindi in genere sono numeri irrazionale. Solo in alcuni casi particolari (che però vengono scelti spesso come esempi) compaiono radici che sono numeri razionali (o addirittura interi).

Il teorema di Vieta

Problema: Si trovi un'equazione di secondo grado che abbia come soluzioni i numeri 1 e 2!
Soluzione: L'equazione è:

$$(x-1)(x-2) = 0$$

(11)

Si vede subito che l'equazione è verificata per $ x = 1$ (perchè il primo fattore in tal caso è zero) e per $x = 2$ (perchè il secondo fattore in tal caso è zero).
Per mascherare la semplicità della soluzione togliamo le parentesi e scriviamo

$$(x-1)(x-2) = x^{2}-3x+2$$

(12)

Si noti che questa non è un'equazione, ma un' identità . Abbiamo semplicemente trovato due maniere di esprimere la stessa cosa. Possiamo adesso scrivere la (11) in forma

$$x^{2}-3x+2 = 0$$

(13)

Ripetiamo l'argomento, ma adesso invece di fissare dei valori per le soluzioni, le chiamiamo semplicemente $x_1$ e $x_2$. L'equazione di secondo grado che possiede $x_1$ e $x_2$ come soluzioni è

$$(x-x_{1})(x-x_{2}) = 0$$

(14)

Togliendo le parentesi a sinistra si ha

$$(x-x_1)(x-x_2) = x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2$$

(15)

che è un'identità: due modi di esprimere la stessa cosa. Quindi possiamo scrivere la (14) in forma

$$( x^2 - (x_1+x_2)x + x_1 x_2 = 0$$

(16)

e sappiamo senza dover fare ulteriori calcoli che le soluzioni sono $x_1$ e $x_2$. Ma questa equazione non è altro che la forma tipica che abbiamo visto in (5). Infatti è del tipo $ x^2 + px + q = 0$ con

$$p = -(x_1 + x_2)$$	(17)
$$q = x_1 x_2$$	(18)

Ma allora possiamo scegliere le soluzioni che vogliamo ottenere e calcolare l'equazione corrispondente tramite queste formule!

Questo enunciato è il Teorema di Vieta che in genere viene riportato così

$$x_1 + x_2 = -p$$	(19)
$$x_1 x_2 = q$$	(20)

In parole: se l'equazione di secondo grado $ x^2 + px +q = 0$ possiede due soluzioni reali $x_1$ e $x_2$, allora la loro somma è $-p$, e il loro prodotto è $q$. Il teorema vale anche quando si ha un'unica soluzione (e cioè $-\frac{p}{2}$) e si pone $x_1 = x_2 ( = -\frac{p}{2})$.

Esempio: L'equazione $x^2 - 5x + 6 = 0$ che abbiamo già visto e risolto possiede le soluzioni 2 e 3. La loro somma è 5 (cioè il negativo di $p = -5$) e il loro prodotto è 6 (cioè $q$).

Alla base del teorema di Vieta sta il fatto che qualsiasi espressione del tipo $x^{2} + px + q$ che diventi zero per almeno un numero reale $x$ può essere scritta come prodotto di fattori lineari (cioè di espressioni di forma $ax + b$, anche dette polinomi di primo grado, mentre un'espressione del tipo $x^2 + px +q$, o più in generale del tipo $ax^{2} + bx + c$,si chiama polinomio di secondo grado).

Problema: Si scriva l'espressione $x^{2} - 5x + 6$ come prodotto di fattori lineari!

Soluzione: Abbiamo visto sopra che l'equazione di secondo grado corrispondente possiede le soluzioni 2 e 3. Si ha quindi l'identità $x^{2} - 5x + 6 = (x -2)(x - 3)$, che può essere verificata togliendo le parentesi.

Lo studio delle equazioni ci ha quindi fornito un metodo per scomporre alcune espressioni quadratiche in espressioni più elementari. I due fattori lineari hanno un ruolo simile a quello dei fattori primi per i numeri naturali.

Formula risolutiva generale

Un'equazione di secondo grado può essere anche data in forma (4), cioè

$$ax^{2} + bx + c=0$$

(21)

Qui, come abbiamo osservato prima, deve valere $a \ne 0$, e la relazione con la forma tipica è data da $p = \frac{b}{a}$ e $q = \frac{c}{a}$ (che si ottiene dividendo entrambi i membri per $a$). La formula risolutiva generale corrispondente è

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$

(22)

A seconda che il numero sotto radice $b^{2} - 4ac$ sia negativo, 0 oppure positivo, l'equazione non ammette soluzioni reali, ne ammette una oppure due. Ricaviamo la formula generale da quella ridotta ponendo $p = \frac{b}{a}$ e $q = \frac{c}{a}$.
Il numero $b^{2} - 4ac$ decide quindi il numero di soluzioni. Ha lo stesso ruolo che prima aveva il numero $\frac{p^2}{4} - q$ e si chiama anche esso discriminante.

Altre equazioni

Ci sono molte altre equazioni oltre a quelle lineari o di secondo grado:

Equazioni di terzo grado come:

$$2x^{3} + 3x^{2} + 5x -7=0$$

(23)

Equazioni fratte come:

$$\frac{x+3}{x+6}=\frac{x-1}{x}$$

(24)

Equazioni irrazionali come:

$$\sqrt{x+1}=\sqrt{x^{2}-5}$$

(25)

e molte altre ancora.

Tutte queste equazioni in linea di massima possono essere trattate con metodi simili a quelli che abbiamo visto prima (non sempre con successo, perchè spesso le soluzioni - pur esistendo - non possono essere determinate con strumenti elementari). A volte però ci si trova di fronte a un problema che dobbiamo ancora menzionare.

Vedi anche il capitolo 7: Equazioni esponenziali e logaritmiche

Insieme di definizione

Può accadere che un'equazione non abbia senso per tutti gli elementi dell'insieme di base $G$. Ad esempio se nell'equazione fratta (24) prendiamo $\mathbb{R}$ come insieme di base, abbiamo un problema quando $x=-6$ oppure $x=0$. In entrambi i casi si tratterebbe di dividere per zero, un'operazione che non è definita! Per questi due valori di $x$ non possiamo quindi nemmeno chiedere se la "tesi" rappresentata dall'equazione è vera o falsa, perchè questa tesi non ha senso.
In questi casi perciò si escludono i valori problematici di $G$ ottenendo un insieme (più piccolo) $D$ che si chiama insieme di definizione. Solo gli elementi di questo insieme possono essere presi in considerazione come soluzioni (l'idea alla base dell'insieme di definizione è di eliminare i valori di $x$ che in realtà non dovrebbero nemmeno essere contenuti nell'insieme di base. A volte però è difficile determinarli; questo è il motivo della distinzione tra $G$ e $D$). Il nome insieme di definizione deriva dal fatto che esso contiene solo quegli elementi dell'insieme di base per i quali entrambi i membri dell'equazione sono definiti.

Vedi anche il capitolo 1: La divisione per zero non è definita

Nel caso dell'equazione fratta (24) con $G=\mathbb{R}$ si ha $D=\mathbb{R}$ \ $\{-6,0\}$, ovvero, $D=\{x\in \mathbb{R} \mid x\ne -6$ e $x\ne 0\}$. In generale per un'equazione fratta, i valori da escludere sono quelli per cui almeno un denominatore diventa zero (ciò naturalmente ci conduce a considerare una o più nuove equazioni del tipo denominatore = 0).

Un problema simile si pone per l'equazione irrazionale (25). Le due espressioni sotto radice devono essere $\ge0$ perchè l'equazione abbia un senso. Se prendiamo $G=\mathbb{R}$ l'insieme di definizione è $D=\{x\in\mathbb{R}\mid x+1\ge0$ e $x^{2}-5\ge0\}$.

Metodi risolutivi

Come si risolvono tali equazioni? Passiamo in rassegna i tre esempi (23) - (25):nel capitolo "Funzioni" presenteremo un metodo di risoluzione grafico per equazioni di terzo grado come la (23).

Nel caso di un'equazione fratta come la (24) possiamo eseguire delle trasformazioni equivalenti (vedi trasformazioni equivalenti). Possiamo moltiplicare entrambi i membri con $x(x+6)$, cioè con il prodotto di tutti i denominatori, perchè supponiamo che $x$ appartenga all'insieme di definizione, e in questo caso sappiamo che $x\ne 0 e x+6\ne 0$. Infatti questo è proprio lo scopo dell'insieme di definizione! Ricordiamo che $D=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ne -6 e x\ne 0\}$.
Otterremo quindi l'equazione $x(x+3)=(x+6)(x-1)$, che togliendo le parentesi diventa $x^{2}+3x=x^{2}+5x-6$. La possiamo risolvere eseguendo ulteriori trasformazioni equivalenti:

$x^{2}+3x=x^{2}+5x-6$	sottrarre $x^{2}$
$3x=5x-6$	moltiplicare per $-5x$
$-2x=-6$	dividere per $(-2)$
$x=3$

Visto che $3\in D$, abbiamo trovato la (unica) soluzione $L=\{3\}$.

Nel caso di un'equazione irrazionale come la (25) non ci resta altro da fare che eseguire una trasformazione che non è una trasformazione equivalente. Il rischio è di ottenere soluzioni apparenti che in realtà non sono soluzioni. Se eleviamo al quadrato entrambi i membri della (25) (e ciò non è una trasformazione equivalente), l'equazione si trasforma in $x+1=x^{2}-5$. Quest'ultima è un'equazione di secondo grado che possiamo scrivere in forma $x^{2}-x-6=0$ e dalla quale ricaviamo grazie alla formula risolutiva le soluzioni $x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\frac{5}{2}$, quindi $x_{1}=-2$ e $x_{2}=3$.
Ma questi due numeri non sono necessariamente soluzioni dell'equazione originaria, perchè abbiamo eseguito un'operazione "illecita" e così facendo possiamo aver perso informazioni. Infatti un piccolo calcolo ci mostra subito che il numero $-2$ non appartiene nemmeno all'insieme di definizione, perchè ne $x+1\ge0$ ne $x^{2}-5\ge0$ sono verificate per $x=-2$, e quindi se poniamo $x=-2$ nell'equazione data (25) otteniamo un enunciato privo di senso in cui compaiono radici di numeri negativi. Invece il numero 3 appartiene a $D$ (per $x=3$ vale infatti sia $x+1\ge0$ sia $x^{2}-5\ge0$) e inserito nell'equazione (25) ci fornisce l'enunciato $\sqrt{4}=\sqrt{4}$, ovvero $2=2$. Il numero $3$ è quindi l'unica soluzione dell'equazione. Abbiamo dunque $L=\{3\}$ nonostante il fatto che durante i nostri i calcoli fossero apparse due "soluzioni".

Abbiamo visto dunque: non appena eseguiamo operazioni che, pur trattando alla stessa maniera entrambi i membri di un'equazione, non sono reversibili (e perciò non sono trasformazioni equivalenti), dobbiamo considerare le "soluzioni" che troviamo solo come possibili candidati. A questo punto si procede per esclusione, inserendo i vari candidati nell'equazione e controllando se gli enunciati così ottenuti hanno un senso e, in caso positivo, se sono veri o falsi.